Natrag: DERIVACIJE I PRIMJENE   Gore: DERIVACIJE I PRIMJENE   Naprijed: Tangenta i normala   Derivacija ++++++++++++ U ovom poglavlju definirat ćemo derivaciju te derivacije slijeva i zdesna, izvesti formule za jednadžbe tangente i normale i dati osnovna pravila deriviranja. Potom ćemo izvesti formule za derivacije svih elementarnih funkcija iz poglavlja 4.6 . Definicija 5.1   Funkcija je derivabilna u točki ako postoji limes Broj je derivacija funkcije u točki . definirana na ovaj način je također funkcija i vrijedi Ako je , tada je funkcija derivabilna na skupu , a ako je , tada je derivabilna funkcija . Ako je pored toga funkcija neprekidna, tada je neprekidno derivabilna ili glatka funkcija. Definicija limesa 4.5 povlači da u izoliranoj točki derivacija ne postoji, premda je funkcija definirana u toj točki (vidi sliku 5.1 ). Slika 5.1. Izolirana točka Dokažimo sljedeći važan teorem. Teorem 5.1   Ako je funkcija derivabilna u točki , tada je i neprekidna u toj točki. Dokaz. Derivabilnost funkcije u točki povlači                       Dakle, , pa je funkcija neprekidna u točki po definiciji 4.6 .      Q.E.D. Vidimo da funkcija nema derivaciju u točkama prekida. Obrat teorema ne vrijedi, odnosno ako je funkcija neprekidna u točki , ne mora imati derivaciju u toj točki (vidi primjer 5.3 ). Ako u definiciji 5.1 prirast nezavisne varijable u točki označimo s a prirast funkcije u točki označimo s tada imamo Kada u ovoj formuli zamijenimo s , dobijemo izraz za derivaciju koji je pogodan za primjene, (5.1) Iz teorema 5.1 slijedi da u definiciji 5.1 i formuli ( 5.1 ) brojnik i nazivnik istovremeno teže k nuli, odnosno derivacija je definirana kao limes neodređenog oblika . Međutim, takvi neodređeni limesi se mogu izračunati, što nam daje formule za derivacije zadanih funkcija. Primjer 5.1   a) Za konstantnu funkciju po formuli ( 5.1 ) vrijedi b) Za funkciju vrijedi c) Za funkciju vrijedi                 d) Adicioni teoremi ( A4 ) i ( A5 ) povlače Primjena ove formule daje                       U predzadnjoj jednakosti koristili smo treću tvrdnju teorema 4.3 o limesu produkta, a u zadnjoj jednakosti koristili smo zadatak 4.5 . e) Na sličan način možemo pokazati da je Dokažite ovu formulu. Primijetimo da su po definiciji 5.1 sve ove funkcije glatke, jer su im derivacije neprekidne. Derivacija je nezaobilazni alat u rješavanju mnogih problema u fizici, mehanici i općenito tehnici. Isaac Newton je u XVII. stoljeću započeo razvijati diferencijalni račun baveći se problemom određivanja brzine. Primjer 5.2   Neka je s dan zakon prema kojem se točka giba po pravcu, pri čemu označava prijeđeni put, a označava vrijeme. Pretpostavimo da je kretanje započelo iz ishodišta, odnosno . Tada točka do trenutka prevali put , a do trenutka put . Prosječna brzina kojom se točka gibala u vremenu od trenutka do trenutka jednaka je Ako je derivabilna funkcija, tada kada gornji izraz teži k trenutačnoj brzini točke u trenutku , Dakle, brzina je derivacija puta po vremenu. Na sličan način možemo pokazati i da je ubrzanje (akceleracija) derivacija brzine po vremenu. Vidimo da u ovom slučaju vrijedi općenita tvrdnja, izrečena na početku poglavlja, o derivaciji kao "mjeri promjene". Poglavlja * Tangenta i normala * Derivacije slijeva i zdesna * Pravila deriviranja * Deriviranje implicitno zadane funkcije * Derivacije elementarnih funkcija * Trigonometrijske i arkus funkcije * Eksponencijalna i logaritamska funkcija * Hiperbolne i area funkcije * Potencije * Logaritamsko deriviranje Natrag: DERIVACIJE I PRIMJENE   Gore: DERIVACIJE I PRIMJENE   Naprijed: Tangenta i normala