previous up next
Natrag: Plošni integral vektorskog Gore: PLOŠNI INTEGRALI   Naprijed: Stokesova formula  


Teoremi o divergenciji, gradijentu i rotoru

Cirkulaciju vektorskog polja $ \mathbf{w}$ kroz zatvorenu orijentiranu plohu $ S$ označavamo s

$\displaystyle \bigcirc \hspace{-0.55cm} \int \hspace{-0.28cm} \int \limits_{\overrightarrow{S}} \mathbf{w}   d\overrightarrow{S}.
$

Zatvorenu plohu koja omeđuje zatvoreno područje $ V\subseteq \mathbb{R}^3$ (rub područja $ V$ ) označavamo s $ \partial V$ odnosno s $ \overrightarrow{\partial V}$ ukoliko je ploha orijentirana.

Teorem 3.1   [Teorem o divergenciji, Gauss-Ostrogradski formula] Neka je $ \mathbf{w}:V'\to V_0$ neprekidno diferencijabilno vektorsko polje i neka je $ V\subseteq V'\subseteq R^3$ zatvoreno područje omeđeno sa po dijelovima glatkom plohom $ \partial V$ (koja ne presijeca samu sebe). Neka je ploha $ \overrightarrow{\partial V}$ orijentirana poljem vanjskih normala. Tada vrijedi

$\displaystyle \iiint\limits_V \mathop{\mathrm{div}}\nolimits \mathbf{w}   dV =...
...int \limits_{\overrightarrow{\partial V}} \mathbf{w}
\cdot \mathbf{n}_0   dS.
$

Teorem 3.1 daje jedno poopćenje Greenovog teorema na trodimenzionalni slučaj. Naime, u dvodimenzionalnom prostoru Greenovu formulu iz teorema 2.2,

$\displaystyle \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial
y}\right)  dx  dy=
\oint\limits_{\overrightarrow{C}}P  dx+Q  dy
$

možemo neformalno interpretirati kao:
$\textstyle \parbox{6cm}{integral ''derivacije'' po plohi  omeđenoj zatvorenom
krivuljom}$ =      $\textstyle \parbox{5cm}{cirkulacija po orijentiranoj krivulji koja omeđuje plohu}$
Analogno, Gauss-Ostrogradski formulu možemo interpretirati kao
$\textstyle \parbox{6cm}{integral ''derivacije'' po volumenu  omeđenom zatvorenom plohom}$ =      $\textstyle \parbox{5cm}{cirkulacija po orijentiranoj plohi koja omeđuje volumen}$

Uz oznake

$\displaystyle \mathbf{w}= P \mathbf{i} + Q  \mathbf{j}+R  \mathbf{k}, \qquad...
...s \alpha   \mathbf{i} + \cos \beta   \mathbf{j} + \cos \gamma   \mathbf{k},
$

teorem 3.1 možemo pisati u skalarnoj formi:

$\displaystyle \iiint\limits_V \left(\frac{\partial P}{\partial x}+
\frac{\parti...
...htarrow{\partial V}}
(P  \cos \alpha + Q  \cos\beta +R  \cos\gamma)   dS.
$

Primjer 3.3   Izračunajmo

$\displaystyle I=\bigcirc \hspace{-0.55cm} \int \hspace{-0.28cm} \int \limits_{\overrightarrow{S}} x^3  dy  dz+ y^3  dx  dz+ z^3  dx  dy,
$

gdje je $ \overrightarrow{S}$ sfera $ x^2+y^2+z^2=a^2$ orijentirana poljem vanjskih normala. Iz

$\displaystyle \mathbf{w}=x^3 \mathbf{i} + y^3 \mathbf{j} + z^3 \mathbf{k},\qquad
\mathop{\mathrm{div}}\nolimits \mathbf{w} = 3 x^2+3 y^2+3 z^2,
$

primjenom Gauss-Ostrogradski formule i prelaskom na sferne koordinate imamo

$\displaystyle I$ $\displaystyle =\iiint\limits_V (3 x^2+3 y^2+3 z^2 )  dx  dy  dz= \left\{\...
...[0,\pi]  z=r\cos \theta & r\in[0,a]  J=r^2\sin \theta & \end{array}\right\}$    
  $\displaystyle =3  \int\limits_0^{2 \pi}   d\varphi   \int\limits_0^{\pi} \s...
...  \int\limits_0^a r^2 \cdot r^2  dr= \displaystyle \frac{12}{5}  \pi   a^5.$    

Primjer 3.4   Izračunajmo

$\displaystyle I=\bigcirc \hspace{-0.55cm} \int \hspace{-0.28cm} \int \limits_{\overrightarrow{S}} x   dy  dz+ y   dx  dz+ z   dx  dy,
$

gdje je $ S$ proizvoljna po djelovima glatka zatvorena ploha koja omeđuje područje $ V\subseteq \mathbb{R}^3$ , a orijentirana je poljem vanjskih normala. Vrijedi

$\displaystyle I=\iiint\limits_V (1+1+1 )  dx  dy  dz= 3 \iiint\limits_V   dx  dy  dz= 3
\int\limits_V dV .
$

Dakle, volumen područja $ V$ jednak je

$\displaystyle V(V)= \frac{1}{3} \bigcirc \hspace{-0.55cm} \int \hspace{-0.28cm} \int \limits_{\overrightarrow{S}} x   dy  dz+ y   dx  dz+ z   dx  dy.
$

Ova formula je poopćenje korolara 2.1 za $ n=3$ .

Kao što smo već kazali, Teorem o divergenciji daje vezu dvostrukog integrala po plohi i trostrukog integrala "derivacije" po području omeđenom tom plohom. Imamo još dvije slične veze. Definirajmo integrale

$\displaystyle \iiint\limits_V \mathbf{w}   dV$ $\displaystyle = \mathbf{i} \iiint\limits_V w_x  dV + \mathbf{j} \iiint\limits_V w_y  dV + \mathbf{k} \iiint\limits_V w_z  dV,$    
$\displaystyle \iint\limits_S \mathbf{w}   dS$ $\displaystyle = \mathbf{i} \iint\limits_S w_x  dS + \mathbf{j} \iint\limits_S w_y  dS + \mathbf{k} \iint\limits_S w_z  dS.$    

U iskazima sljedeća dva teorema $ V$ je područje omeđeno s po dijelovima glatkom plohom $ \partial V$ , a $ \mathbf{n}_0$ je polje vanjskih normala.

Teorem 3.2   [Teorem o gradijentu] Vrijedi

$\displaystyle \iiint\limits_V \mathop{\mathrm{grad}}\nolimits f   dV$ $\displaystyle = \bigcirc \hspace{-0.55cm} \int \hspace{-0.28cm} \int \limits_{\partial V} f  \mathbf{n}_0   dS$    
  $\displaystyle = \mathbf{i} \bigcirc \hspace{-0.55cm} \int \hspace{-0.28cm} \int...
...ce{-0.55cm} \int \hspace{-0.28cm} \int \limits_{\partial V} f\cos \gamma   dS.$    

Teorem 3.3   [Teorem o rotaciji] Vrijedi

$\displaystyle \iiint\limits_V \mathop{\mathrm{rot}}\nolimits \mathbf{w}   dV =...
...ace{-0.28cm} \int \limits_{\partial V} (\mathbf{n}_0
\times \mathbf{w})   dS.
$


previous up next
Natrag: Plošni integral vektorskog Gore: PLOŠNI INTEGRALI   Naprijed: Stokesova formula