previous up next
Natrag: Teoremi o divergenciji, Gore: PLOŠNI INTEGRALI   Naprijed: Indeks  


Stokesova formula

Stokesova formula je poopćenje Greenove formule iz poglavlja 2.5 na plohe i krivulje u prostoru.

Konzistentna orijentacija plohe i njenog ruba je kda orijentacija ruba zajedno s normalom u svakoj točki plohe čine desni koordinatni sustav. Možemo se izraziti i drukčije: plohu i njen rub orijentiramo tako da gledano iz vrha bilo koje normale rub bude pozitivno orijentiran. Konzistentne orijentacije plohe prikazane su na slici 3.12.

Slika 3.12: Konzistentne orijentacije plohe i njenog ruba
\begin{figure}\centering
\epsfig{file=slike/P11.eps, width=12cm}
\end{figure}

Teorem 3.4   [Stokes] Neka je $ \mathbf{w}:D\to V_0$ neprekidno diferencijabilno vektorsko polje, pri čemu je $ D\subseteq \mathbb{R}^3$ otvoren skup. Neka je $ \overrightarrow{S}$ po dijelovima glatka ploha orijentirana poljem jediničnih vektora normale $ \mathbf{n}_0$ i neka je $ \overrightarrow{\partial S}$ konzistentno orijentiran tub plohe $ \overrightarrow{S}$ ( $ \partial S$ je po dijelovima glatka krivulja). Tada vrijedi

$\displaystyle \iint\limits_{\overrightarrow{S}} \mathop{\mathrm{rot}}\nolimits ...
..., d\mathbf{r} =
\oint\limits_{\partial S}\mathbf{w} \cdot \mathbf{t}_0   ds.
$

U skalarnom obliku Stokesova formula glasi

$\displaystyle \oint\limits_{\overrightarrow{\partial S}} P  dx+Q  dy+R  dz$ $\displaystyle = \iint\limits_S \left[ \left(\displaystyle \frac{\partial R}{\partial y}- \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial z}\right)\cos\alpha  + \right.$    
  $\displaystyle \quad + \left. \left(\displaystyle \frac{\partial P}{\partial z}-...
...x}- \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}\right)\cos\gamma \right]   dS.$    

Primjer 3.5   Izračunajmo cirkulaciju vektorskog polja

$\displaystyle \mathbf{w}=x^2 y^3  \mathbf{i} + \mathbf{j} + z  \mathbf{k}
$

duž ruba plohe

$\displaystyle z=\sqrt{2-x^2-y^2}
$

orijentiranog u negativnom smislu gledano iz vrha vektora $ -\mathbf{k}$ .

Ploha $ S$ je gornja polusfera radijusa $ \sqrt{2}$ . Iz slike 3.13 zaključujemo da je ploha $ S$ orijentirana vanjskom normalom sfere $ x^2+y^2+z^2=2$ te da je rub plohe kružnica $ K$ koja omeđuje krug $ D$ .

Slika 3.13: Gornja polusfera i njen rub
\begin{figure}\centering
\epsfig{file=slike/P12.eps, width=7cm}
\end{figure}

Izračunajmo $ \cos \alpha$ , $ \cos \beta$ i $ \cos \gamma$ (odnosno $ \mathbf{n}_0$ ) kako bi primijenili skalarni oblik Stokesove formule. Vrijedi

$\displaystyle \mathbf{n}_0 = \frac{x}{\sqrt{2}}  \mathbf{i} + \frac{y}{\sqrt{2}}  \mathbf{j} +
\frac{\sqrt{2-x^2-y^2}}{\sqrt{2}}  \mathbf{k}
$

pa je

$\displaystyle I$ $\displaystyle =\oint\limits_{\overrightarrow{K}} (x^2  y^2   dx+   dy+ z    dz)$    
  $\displaystyle = \iint\limits_S \left[(0-0)  \displaystyle \frac{x}{\sqrt{2}} +...
...-3  x^2 y^2)  \displaystyle \frac{\sqrt{2-x^2-y^2}}{\sqrt{2}} \right]   dS.$    

Ovo je plošni integral skalarnog polja kojeg ćemo riješiti projiciranjem plohe $ S$ na $ xy$ -ravninu - projekcija je središnji krug $ D$ radijusa $ \sqrt{2}$ . Dakle,

$\displaystyle I$ $\displaystyle =\iint\limits_D (-3  x^2 y^2) \cdot \displaystyle \frac{\sqrt{2...
...^2}}{\sqrt{2}} \cdot \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2-x^2-y^2}}   dx  dy$    
  $\displaystyle = -3\iint\limits_D x^2  y^2   dx  dy= \left\{ \begin{array}{ll...
...\varphi \in[0,2  \pi]  y=r\sin\varphi ,&r\in[0,\sqrt{2}] \end{array}\right\}$    
  $\displaystyle = -3 \int\limits_0^{2 \pi} \int\limits_0^{\sqrt{2}} r^2\cos^2\varphi \cdot r^2\sin^2\varphi \cdot r  dr  d\varphi =\cdots =-\pi.$    


previous up next
Natrag: Teoremi o divergenciji, Gore: PLOŠNI INTEGRALI   Naprijed: Indeks