×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ VEKTORSKA ANALIZA KRIVULJNI INTEGRALI PLOŠNI INTEGRALI

PODSJETNIK

SADRŽAJ VEKTORSKA ANALIZA KRIVULNJI INTEGRALI PLOŠNI INTEGRALI

NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika3 Skalarna i vektorska polja     VEKTORSKA ANALIZA     Potencijalna i solenoidalna polja

Gradijent, divergencija i rotacija

Funkcije tri varijable imaju parcijalne derivacije i za njih pojam derivacije nije definiran. Stoga se za analizu polja uvode tri operatora koji, svaki u svom području primjene, imaju ulogu sličnu onoj koju ima derivacija funkcije jedne varijable.

Neka je $D\subseteq \mathbb{R}^3$ otvoren skup, $f:D\to \mathbb{R}$ skalarno polje i $\mathbf{w}:D\to V_0$ vektorsko polje pri čemu $V_T$ identificiramo s $V_0$ za $\forall T\in D$ .

Definicija 1.10   Gradijent skalarnog polja $f$ je vektorsko polje

$$\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits f:D\to V_0$$

definirano s

$$\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits f = \frac{\partial f}{\partial x}... ... f}{\partial y} \, \mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \, \mathbf{k}.$$

Divergencija vektorskog polja $\mathbf{w}$ je skalarno polje

$$\mathop{\mathrm{div}}\nolimits \mathbf{w} :D\to \mathbb{R}$$

definirano s

$$\mathop{\mathrm{div}}\nolimits \mathbf{w} = \frac{\partial w_x}{\... ...ial x} + \frac{\partial w_y}{\partial y} + \frac{\partial w_z}{\partial z}.$$

Rotacija vektorskog polja $\mathbf{w}$ je vektorsko polje

$$\mathop{\mathrm{rot}}\nolimits \mathbf{w} :D\to V_0$$

definirano s

$$\mathop{\mathrm{rot}}\nolimits \mathbf{w} = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \display... ...y} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial z} \\ w_x & w_y & w_z \end{vmatrix}$$

$$= \left(\frac{\partial w_z}{\partial y} - \frac{\partial w_y}{\pa... ...{\partial w_y}{\partial x} - \frac{\partial w_x}{\partial y}\right) \mathbf{k}.$$

Iz definicije gradijenta slijedi da nužan uvjet ekstrema funkcije $f$ možemo pisati kao

$$\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits f = 0.$$

Za razliku od divergencije i rotacije koje imaju smisla samo u slučaju vektorskih polja (tri varijable), gradijent je dobro definiran i za prostore proizvoljne dimenzije $n$ .

Definicija 1.11   Hamiltonov diferencijalni operator (nabla) glasi

$$\nabla = \mathbf{i} \, \frac{\partial}{\partial x} + \mathbf{j} \, \frac{\partial}{\partial y} + \mathbf{k} \, \frac{\partial}{\partial z}.$$

Laplaceov diferencijalni operator glasi

$$\triangle=\mathop{\mathrm{div}}\nolimits \mathop{\mathrm{grad}}\n... ...rtial x^2}+ \frac{\partial^2}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2}{\partial z^2}.$$

Dakle, $\nabla$ istovremeno ima svojstva i vektora i derivacije. Vrijedi

$$\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits f = \nabla f,$$

$$\mathop{\mathrm{div}}\nolimits \mathbf{w} = \nabla \cdot \mathbf{w} \qquad (\textrm{skalarni produkt } \nabla \textrm{ i } \mathbf{w} ),$$

$$\mathop{\mathrm{rot}}\nolimits \mathbf{w} = \nabla \times \mathbf{w} \qquad (\textrm{vektorski produkt } \nabla \textrm{ i } \mathbf{w} ).$$

Iz svojstava množenja vektora skalarom i svojstava skalarnog i vektorskog produkta slijedi da je $\nabla$ linearan operator, odnosno

$$\nabla(\lambda f + \mu g) = \lambda \nabla f + \mu \nabla g,$$

$$\nabla\cdot(\lambda \mathbf{w} + \mu \mathbf{u}) = \lambda \nabla \cdot\mathbf{w} + \mu \nabla \cdot \mathbf{u},$$ (1.3)

$$\nabla\times(\lambda \mathbf{w} + \mu \mathbf{u}) = \lambda \nabla \times\mathbf{w} + \mu \nabla \times \mathbf{u},$$

gdje su $f$ , $g$ , $\mathbf{u}$ i $\mathbf{w}$ diferencijabilna polja, a $\lambda,\mu \in \mathbb{R}$ .

U sljedeća tri teorema dat ćmo najvažnija svojstva gradijenta, divergencije i rotacije.

Teorem 1.4   [Svojstva gradijenta] Neka su $f$ i $g$ diferencijabilna skalarna polja i $\lambda,\mu \in \mathbb{R}$ . Tada vrijedi:

i)

$\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits c = 0, \qquad c=\textrm{const}$ ,

ii)

$\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits (\lambda f + \mu g) = \lambda \mathop{\mathrm{grad}}\nolimits f + \mu \mathop{\mathrm{grad}}\nolimits g$ ,

iii)

$\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits (f\, g) = g \mathop{\mathrm{grad}}\nolimits f + f \mathop{\mathrm{grad}}\nolimits g$ ,

iv)

$\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits \left(\displaystyle \frac{f}{g}\right) = \disp... ...{grad}}\nolimits f - f \mathop{\mathrm{grad}}\nolimits g}{g^2},\qquad g\neq 0$ ,

v)

$\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits (\varphi\circ f)=\displaystyle \frac{d\varphi}{d f} \, \mathop{\mathrm{grad}}\nolimits f$ , gdje je $\varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ diferencijabilna funkcija.

Dokaz.

Sve tvrdnje se lako dokažu uvrštavanjem.     

Q.E.D.

Zadatak 1.3   Dokažite teorem 1.4.

Teorem 1.5   [Svojstva divergencije] Neka su $f$ , $g$ , $\mathbf{u}$ i $\mathbf{w}$ diferencijabilna polja, a $\lambda,\mu \in \mathbb{R}$ . Tada vrijedi:

i)

$\mathop{\mathrm{div}}\nolimits \mathbf{c} = 0$ za svako konstantno vektorsko polje $\mathbf{c}$ ,

ii)

$\mathop{\mathrm{div}}\nolimits (\lambda \mathbf{w}+ \mu \mathbf{u} ) = \lambda... ...hrm{div}}\nolimits \mathbf{w} + \mu \mathop{\mathrm{div}}\nolimits \mathbf{u}$ ,

iii)

$\mathop{\mathrm{div}}\nolimits (\mathbf{w}\times \mathbf{u})=(\mathop{\mathrm{... ...})\cdot \mathbf{u} - \mathbf{w}\cdot \mathop{\mathrm{rot}}\nolimits \mathbf{u}$ ,

iv)

$\mathop{\mathrm{div}}\nolimits (f\,\mathbf{w})=\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits f \cdot \mathbf{w} + f \mathop{\mathrm{div}}\nolimits \mathbf{w}$ ,

v)

$\mathop{\mathrm{div}}\nolimits (f \mathop{\mathrm{grad}}\nolimits g)=\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits f\cdot \mathop{\mathrm{grad}}\nolimits g + f \triangle g$ ,

vi)

$\mathop{\mathrm{div}}\nolimits (\mathop{\mathrm{rot}}\nolimits \mathbf{w})= 0$ .

Dokaz.

i)

Očito.

ii)

Vidi drugu jednadžbu u relaciji (1.3).

iii)

Koristit ćemo formalni račun pomoću operatora $\nabla$ . Kako je $\nabla$ diferencijalni operator, na zadani izraz prvo primjenimo pravilo o derivaciji produkta. Pri tome potcrtavamo polja na koja operator ne djeluje. Dakle,

$$\mathop{\mathrm{div}}\nolimits (\mathbf{w}\times \mathbf{u})=\nab... ...underline{\mathbf{u}})+\nabla \cdot (\underline{\mathbf{w}}\times \mathbf{u}).$$

Sada izraze treba dozvoljenim transformacijama svesti na oblik iz kojeg se jasno vidi kakvo je djelovanje operatora $\nabla$ . U ovom slučaju se radi o mješovitim produktima pa ćemo u prvom slučaju napraviti cikličku, a u drugom acikličku zamjenum i protumačiti konačan rezultat:

$$\mathop{\mathrm{div}}\nolimits (\mathbf{w}\times \mathbf{u})= \m... ...}}\nolimits \mathbf{w} - \mathbf{w} \mathop{\mathrm{rot}}\nolimits \mathbf{u}.$$

iv)

Slično kao u prethodnoj točki, uz korištenje svojstava množenja vektora skalarom, imamo:

$$\mathop{\mathrm{div}}\nolimits (f\,\mathbf{w}) = \nabla \cdot (f\,\mathbf{w}) = \nabla \cdot (f\,\underline{\mathbf{w}}) + \nabla \cdot (\underline{f}\,\mathbf{w})$$

$$=(\nabla f) \cdot \mathbf{w} + f \, (\nabla \cdot \mathbf{w})= \m... ...rad}}\nolimits f\cdot \mathbf{w} + f \mathop{\mathrm{div}}\nolimits \mathbf{w}.$$

v)

Slijedi kada u iv) zamijenimo $\mathbf{w}$ sa $\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits g$ i primjenimo definiciju Laplaceovog operatora 1.11.

vi)

$\mathop{\mathrm{div}}\nolimits (\mathop{\mathrm{rot}}\nolimits \mathbf{w})=\nabla\cdot (\nabla\times w)=0$ jer se radi o mješovitom produktu s dva jednaka vektora.     

Q.E.D.

Definirajmo novi diferencijalni operator

$$\mathbf{u} \cdot \nabla = u_x\, \frac{\partial}{\partial x} + u_y\, \frac{\partial}{\partial y}+ u_z\, \frac{\partial}{\partial z},$$

čije je djelovanje definirano formulom

$$(\mathbf{u} \cdot \nabla)\, \mathbf{w} = \left(u_x \displaystyle \frac{\partial w_x}{\partial x} + u_y \di... ...artial y} + u_z \displaystyle \frac{\partial w_x}{\partial z}\right) \mathbf{i}$$

$$+ \left(u_x \displaystyle \frac{\partial w_y}{\partial x} + u_y \... ...artial y} + u_z \displaystyle \frac{\partial w_y}{\partial z}\right) \mathbf{j}$$

$$+ \left(u_x \displaystyle \frac{\partial w_z}{\partial x} + u_y \... ...rtial y} + u_z \displaystyle \frac{\partial w_z}{\partial z}\right) \mathbf{k}.$$

Teorem 1.6   [Svojstva rotacije] Neka su $f$ , $g$ , $\mathbf{u}$ i $\mathbf{w}$ diferencijabilna polja, a $\lambda,\mu \in \mathbb{R}$ . Tada vrijedi:

i)

$\mathop{\mathrm{rot}}\nolimits \mathbf{c} = \mathbf{0}$ za svako konstantno vektorsko polje $\mathbf{c}$ ,

ii)

$\mathop{\mathrm{rot}}\nolimits (\lambda \mathbf{w}+ \mu \mathbf{u} ) = \lambda... ...hrm{rot}}\nolimits \mathbf{w} + \mu \mathop{\mathrm{rot}}\nolimits \mathbf{u}$ ,

iii)

$\mathop{\mathrm{rot}}\nolimits (\mathbf{w}\times \mathbf{u})= (\mathop{\mathrm... ...bf{u} + (\mathbf{u} \nabla) \, \mathbf{w} - (\mathbf{w}\nabla ) \, \mathbf{u}$ ,

iv)

$\mathop{\mathrm{rot}}\nolimits (f\,\mathbf{w})=(\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits f) \times \mathbf{w} + f \mathop{\mathrm{rot}}\nolimits \mathbf{w}$ ,

v)

$\mathop{\mathrm{rot}}\nolimits (\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits f ) =\mathbf{0}$ ,

vi)

$\mathop{\mathrm{rot}}\nolimits (f \mathop{\mathrm{grad}}\nolimits g)=\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits f\times \mathop{\mathrm{grad}}\nolimits g$ ,

vii)

$\mathop{\mathrm{rot}}\nolimits (\mathop{\mathrm{rot}}\nolimits \mathbf{w})= \m... ...rad}}\nolimits \mathop{\mathrm{div}}\nolimits \mathbf{w} - \triangle \mathbf{w}$ , pri čemu se $\triangle$ primjenjuje na svaku komponentu $w_x$ , $w_y$ i $w_z$ .

Dokaz.

iii)

Koristeći svojstva vektorsko-vektorskog produkta [M1, poglavlje 3.12] imamo:

$$\mathop{\mathrm{rot}}\nolimits (\mathbf{w}\times \mathbf{u}) =\nabla\times (\mathbf{w}\times \mathbf{u})= \nabla\times (\mathb... ... \underline{\mathbf{u}})+\nabla\times (\underline{\mathbf{w}}\times \mathbf{u})$$

$$= \mathbf{w} \, (\nabla \cdot \underline{\mathbf{u}}) - \mathbf{u... ..., (\nabla \cdot \mathbf{u}) - \mathbf{u}\,(\nabla \cdot \underline{\mathbf{w}})$$

$$= \mathbf{w} \mathop{\mathrm{div}}\nolimits \mathbf{u} -\mathbf{u... ...athbf{u} \cdot \nabla) \, \mathbf{w} - (\mathbf{w} \cdot \nabla) \, \mathbf{u}.$$

iv)

Vrijedi

$$\mathop{\mathrm{rot}}\nolimits (f\,\mathbf{w}) =\nabla\times (f\,\mathbf{w}) = \nabla\times (f\,\underline{\mathbf{w}})+ \nabla\times (\underline{f}\,\mathbf{w})$$

$$=(\nabla f)\times \mathbf{w} + f\, (\nabla \times w)$$

$$=(\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits f) \times \mathbf{w} + f \mathop{\mathrm{rot}}\nolimits \mathbf{w}.$$

v)

$\mathop{\mathrm{rot}}\nolimits (\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits f ) = \nabla\times (\nabla f) = \mathbf{0}$ jer se radi o vektorskom produktu dva kolinearna vektora.

vi)

Vrijedi

$$\mathop{\mathrm{rot}}\nolimits (f \mathop{\mathrm{grad}}\nolimits g) =\nabla \times (f \, \nabla g)= \nabla \times (f \, \underline{\nabla g})+ \nabla \times (\underline{f} \, \nabla g)$$

$$=(\nabla f)\times (\nabla g) + f \, (\nabla\times (\nabla g))$$

$$=\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits f\times \mathop{\mathrm{grad}}\nolimits g.$$

    

Q.E.D.

Skalarna i vektorska polja     VEKTORSKA ANALIZA     Potencijalna i solenoidalna polja