×   HOME NETPLOT OCTAVE Traži ...
  mat3
Skalarna i vektorska polja     VEKTORSKA ANALIZA     Potencijalna i solenoidalna polja


Gradijent, divergencija i rotacija

Funkcije tri varijable imaju parcijalne derivacije i za njih pojam derivacije nije definiran. Stoga se za analizu polja uvode tri operatora koji, svaki u svom području primjene, imaju ulogu sličnu onoj koju ima derivacija funkcije jedne varijable.

Neka je $ D\subseteq \mathbb{R}^3$ otvoren skup, $ f:D\to \mathbb{R}$ skalarno polje i $ \mathbf{w}:D\to V_0$ vektorsko polje pri čemu $ V_T$ identificiramo s $ V_0$ za $ \forall T\in D$ .

Definicija 1.10   Gradijent skalarnog polja $ f$ je vektorsko polje

$\displaystyle \mathop{\mathrm{grad}}\nolimits f:D\to V_0
$

definirano s

$\displaystyle \mathop{\mathrm{grad}}\nolimits f = \frac{\partial f}{\partial x}...
... f}{\partial y} \, \mathbf{j} +
\frac{\partial f}{\partial z} \, \mathbf{k}.
$

Divergencija vektorskog polja $ \mathbf{w}$ je skalarno polje

$\displaystyle \mathop{\mathrm{div}}\nolimits \mathbf{w} :D\to \mathbb{R}
$

definirano s

$\displaystyle \mathop{\mathrm{div}}\nolimits \mathbf{w} = \frac{\partial w_x}{\...
...ial x} +
\frac{\partial w_y}{\partial y} +
\frac{\partial w_z}{\partial z}.
$

Rotacija vektorskog polja $ \mathbf{w}$ je vektorsko polje

$\displaystyle \mathop{\mathrm{rot}}\nolimits \mathbf{w} :D\to V_0
$

definirano s

$\displaystyle \mathop{\mathrm{rot}}\nolimits \mathbf{w}$ $\displaystyle = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \display...
...y} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial z} \\ w_x & w_y & w_z \end{vmatrix}$    
  $\displaystyle = \left(\frac{\partial w_z}{\partial y} - \frac{\partial w_y}{\pa...
...{\partial w_y}{\partial x} - \frac{\partial w_x}{\partial y}\right) \mathbf{k}.$    

Iz definicije gradijenta slijedi da nužan uvjet ekstrema funkcije $ f$ možemo pisati kao

$\displaystyle \mathop{\mathrm{grad}}\nolimits f = 0.
$

Za razliku od divergencije i rotacije koje imaju smisla samo u slučaju vektorskih polja (tri varijable), gradijent je dobro definiran i za prostore proizvoljne dimenzije $ n$ .

Definicija 1.11   Hamiltonov diferencijalni operator (nabla) glasi

$\displaystyle \nabla = \mathbf{i} \, \frac{\partial}{\partial x} + \mathbf{j} \,
\frac{\partial}{\partial y} + \mathbf{k} \, \frac{\partial}{\partial z}.
$

Laplaceov diferencijalni operator glasi

$\displaystyle \triangle=\mathop{\mathrm{div}}\nolimits \mathop{\mathrm{grad}}\n...
...rtial x^2}+
\frac{\partial^2}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2}{\partial z^2}.
$

Dakle, $ \nabla$ istovremeno ima svojstva i vektora i derivacije. Vrijedi

$\displaystyle \mathop{\mathrm{grad}}\nolimits f$ $\displaystyle = \nabla f,$    
$\displaystyle \mathop{\mathrm{div}}\nolimits \mathbf{w}$ $\displaystyle = \nabla \cdot \mathbf{w} \qquad (\textrm{skalarni produkt } \nabla \textrm{ i } \mathbf{w} ),$    
$\displaystyle \mathop{\mathrm{rot}}\nolimits \mathbf{w}$ $\displaystyle = \nabla \times \mathbf{w} \qquad (\textrm{vektorski produkt } \nabla \textrm{ i } \mathbf{w} ).$    

Iz svojstava množenja vektora skalarom i svojstava skalarnog i vektorskog produkta slijedi da je $ \nabla$ linearan operator, odnosno

$\displaystyle \nabla(\lambda f + \mu g)$ $\displaystyle = \lambda \nabla f + \mu \nabla g,$    
$\displaystyle \nabla\cdot(\lambda \mathbf{w} + \mu \mathbf{u})$ $\displaystyle = \lambda \nabla \cdot\mathbf{w} + \mu \nabla \cdot \mathbf{u},$ (1.3)
$\displaystyle \nabla\times(\lambda \mathbf{w} + \mu \mathbf{u})$ $\displaystyle = \lambda \nabla \times\mathbf{w} + \mu \nabla \times \mathbf{u},$    

gdje su $ f$ , $ g$ , $ \mathbf{u}$ i $ \mathbf{w}$ diferencijabilna polja, a $ \lambda,\mu \in \mathbb{R}$ .

U sljedeća tri teorema dat ćmo najvažnija svojstva gradijenta, divergencije i rotacije.

Teorem 1.4   [Svojstva gradijenta] Neka su $ f$ i $ g$ diferencijabilna skalarna polja i $ \lambda,\mu \in \mathbb{R}$ . Tada vrijedi:
i)
$ \mathop{\mathrm{grad}}\nolimits c = 0, \qquad c=\textrm{const}$ ,
ii)
$ \mathop{\mathrm{grad}}\nolimits (\lambda f + \mu g) = \lambda \mathop{\mathrm{grad}}\nolimits f + \mu \mathop{\mathrm{grad}}\nolimits g$ ,
iii)
$ \mathop{\mathrm{grad}}\nolimits (f\, g) = g \mathop{\mathrm{grad}}\nolimits f + f \mathop{\mathrm{grad}}\nolimits g$ ,
iv)
$ \mathop{\mathrm{grad}}\nolimits \left(\displaystyle \frac{f}{g}\right) = \disp...
...{grad}}\nolimits f - f \mathop{\mathrm{grad}}\nolimits
g}{g^2},\qquad g\neq 0$ ,
v)
$ \mathop{\mathrm{grad}}\nolimits (\varphi\circ f)=\displaystyle \frac{d\varphi}{d f} \, \mathop{\mathrm{grad}}\nolimits f$ , gdje je $ \varphi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ diferencijabilna funkcija.

Dokaz.
Sve tvrdnje se lako dokažu uvrštavanjem.     
Q.E.D.

Zadatak 1.3   Dokažite teorem 1.4.

Teorem 1.5   [Svojstva divergencije] Neka su $ f$ , $ g$ , $ \mathbf{u}$ i $ \mathbf{w}$ diferencijabilna polja, a $ \lambda,\mu \in \mathbb{R}$ . Tada vrijedi:
i)
$ \mathop{\mathrm{div}}\nolimits \mathbf{c} = 0$ za svako konstantno vektorsko polje $ \mathbf{c}$ ,
ii)
$ \mathop{\mathrm{div}}\nolimits (\lambda \mathbf{w}+ \mu \mathbf{u} ) = \lambda...
...hrm{div}}\nolimits \mathbf{w} + \mu \mathop{\mathrm{div}}\nolimits
\mathbf{u}$ ,
iii)
$ \mathop{\mathrm{div}}\nolimits (\mathbf{w}\times \mathbf{u})=(\mathop{\mathrm{...
...})\cdot \mathbf{u} - \mathbf{w}\cdot
\mathop{\mathrm{rot}}\nolimits \mathbf{u}$ ,
iv)
$ \mathop{\mathrm{div}}\nolimits (f\,\mathbf{w})=\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits f \cdot \mathbf{w} + f \mathop{\mathrm{div}}\nolimits \mathbf{w}$ ,
v)
$ \mathop{\mathrm{div}}\nolimits (f \mathop{\mathrm{grad}}\nolimits g)=\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits f\cdot \mathop{\mathrm{grad}}\nolimits g + f \triangle g$ ,
vi)
$ \mathop{\mathrm{div}}\nolimits (\mathop{\mathrm{rot}}\nolimits \mathbf{w})= 0$ .

Dokaz.
i)
Očito.
ii)
Vidi drugu jednadžbu u relaciji (1.3).
iii)
Koristit ćemo formalni račun pomoću operatora $ \nabla$ . Kako je $ \nabla$ diferencijalni operator, na zadani izraz prvo primjenimo pravilo o derivaciji produkta. Pri tome potcrtavamo polja na koja operator ne djeluje. Dakle,

$\displaystyle \mathop{\mathrm{div}}\nolimits (\mathbf{w}\times \mathbf{u})=\nab...
...underline{\mathbf{u}})+\nabla \cdot (\underline{\mathbf{w}}\times \mathbf{u}).
$

Sada izraze treba dozvoljenim transformacijama svesti na oblik iz kojeg se jasno vidi kakvo je djelovanje operatora $ \nabla$ . U ovom slučaju se radi o mješovitim produktima pa ćemo u prvom slučaju napraviti cikličku, a u drugom acikličku zamjenum i protumačiti konačan rezultat:

$\displaystyle \mathop{\mathrm{div}}\nolimits (\mathbf{w}\times \mathbf{u})=
\m...
...}}\nolimits \mathbf{w} - \mathbf{w} \mathop{\mathrm{rot}}\nolimits \mathbf{u}.
$

iv)
Slično kao u prethodnoj točki, uz korištenje svojstava množenja vektora skalarom, imamo:

$\displaystyle \mathop{\mathrm{div}}\nolimits (f\,\mathbf{w})$ $\displaystyle = \nabla \cdot (f\,\mathbf{w}) = \nabla \cdot (f\,\underline{\mathbf{w}}) + \nabla \cdot (\underline{f}\,\mathbf{w})$    
  $\displaystyle =(\nabla f) \cdot \mathbf{w} + f \, (\nabla \cdot \mathbf{w})= \m...
...rad}}\nolimits f\cdot \mathbf{w} + f \mathop{\mathrm{div}}\nolimits \mathbf{w}.$    

v)
Slijedi kada u iv) zamijenimo $ \mathbf{w}$ sa $ \mathop{\mathrm{grad}}\nolimits g$ i primjenimo definiciju Laplaceovog operatora 1.11.
vi)
$ \mathop{\mathrm{div}}\nolimits (\mathop{\mathrm{rot}}\nolimits \mathbf{w})=\nabla\cdot (\nabla\times w)=0$ jer se radi o mješovitom produktu s dva jednaka vektora.     
Q.E.D.

Definirajmo novi diferencijalni operator

$\displaystyle \mathbf{u} \cdot \nabla = u_x\, \frac{\partial}{\partial x}
+ u_y\, \frac{\partial}{\partial y}+ u_z\, \frac{\partial}{\partial z},
$

čije je djelovanje definirano formulom
$\displaystyle (\mathbf{u} \cdot \nabla)\, \mathbf{w}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(u_x \displaystyle \frac{\partial w_x}{\partial x} +
u_y \di...
...artial y} + u_z \displaystyle \frac{\partial w_x}{\partial
z}\right) \mathbf{i}$  
    $\displaystyle +
\left(u_x \displaystyle \frac{\partial w_y}{\partial x} +
u_y \...
...artial y} + u_z \displaystyle \frac{\partial w_y}{\partial
z}\right) \mathbf{j}$  
    $\displaystyle +
\left(u_x \displaystyle \frac{\partial w_z}{\partial x} +
u_y \...
...rtial y} + u_z \displaystyle \frac{\partial w_z}{\partial
z}\right) \mathbf{k}.$  

Teorem 1.6   [Svojstva rotacije] Neka su $ f$ , $ g$ , $ \mathbf{u}$ i $ \mathbf{w}$ diferencijabilna polja, a $ \lambda,\mu \in \mathbb{R}$ . Tada vrijedi:
i)
$ \mathop{\mathrm{rot}}\nolimits \mathbf{c} = \mathbf{0}$ za svako konstantno vektorsko polje $ \mathbf{c}$ ,
ii)
$ \mathop{\mathrm{rot}}\nolimits (\lambda \mathbf{w}+ \mu \mathbf{u} ) = \lambda...
...hrm{rot}}\nolimits \mathbf{w} + \mu \mathop{\mathrm{rot}}\nolimits
\mathbf{u}$ ,
iii)
$ \mathop{\mathrm{rot}}\nolimits (\mathbf{w}\times \mathbf{u})= (\mathop{\mathrm...
...bf{u}
+ (\mathbf{u} \nabla) \, \mathbf{w} - (\mathbf{w}\nabla ) \, \mathbf{u} $ ,
iv)
$ \mathop{\mathrm{rot}}\nolimits (f\,\mathbf{w})=(\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits f) \times \mathbf{w} + f \mathop{\mathrm{rot}}\nolimits \mathbf{w}$ ,
v)
$ \mathop{\mathrm{rot}}\nolimits (\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits f ) =\mathbf{0}$ ,
vi)
$ \mathop{\mathrm{rot}}\nolimits (f \mathop{\mathrm{grad}}\nolimits g)=\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits f\times \mathop{\mathrm{grad}}\nolimits g$ ,
vii)
$ \mathop{\mathrm{rot}}\nolimits (\mathop{\mathrm{rot}}\nolimits \mathbf{w})= \m...
...rad}}\nolimits \mathop{\mathrm{div}}\nolimits \mathbf{w} - \triangle \mathbf{w}$ , pri čemu se $ \triangle$ primjenjuje na svaku komponentu $ w_x$ , $ w_y$ i $ w_z$ .

Dokaz.
iii)
Koristeći svojstva vektorsko-vektorskog produkta [*] [M1, poglavlje 3.12] imamo:

$\displaystyle \mathop{\mathrm{rot}}\nolimits (\mathbf{w}\times \mathbf{u})$ $\displaystyle =\nabla\times (\mathbf{w}\times \mathbf{u})= \nabla\times (\mathb...
... \underline{\mathbf{u}})+\nabla\times (\underline{\mathbf{w}}\times \mathbf{u})$    
  $\displaystyle = \mathbf{w} \, (\nabla \cdot \underline{\mathbf{u}}) - \mathbf{u...
..., (\nabla \cdot \mathbf{u}) - \mathbf{u}\,(\nabla \cdot \underline{\mathbf{w}})$    
  $\displaystyle = \mathbf{w} \mathop{\mathrm{div}}\nolimits \mathbf{u} -\mathbf{u...
...athbf{u} \cdot \nabla) \, \mathbf{w} - (\mathbf{w} \cdot \nabla) \, \mathbf{u}.$    

iv)
Vrijedi

$\displaystyle \mathop{\mathrm{rot}}\nolimits (f\,\mathbf{w})$ $\displaystyle =\nabla\times (f\,\mathbf{w}) = \nabla\times (f\,\underline{\mathbf{w}})+ \nabla\times (\underline{f}\,\mathbf{w})$    
  $\displaystyle =(\nabla f)\times \mathbf{w} + f\, (\nabla \times w)$    
  $\displaystyle =(\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits f) \times \mathbf{w} + f \mathop{\mathrm{rot}}\nolimits \mathbf{w}.$    

v)
$ \mathop{\mathrm{rot}}\nolimits (\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits f ) = \nabla\times (\nabla f) = \mathbf{0}$ jer se radi o vektorskom produktu dva kolinearna vektora.
vi)
Vrijedi

$\displaystyle \mathop{\mathrm{rot}}\nolimits (f \mathop{\mathrm{grad}}\nolimits g)$ $\displaystyle =\nabla \times (f \, \nabla g)= \nabla \times (f \, \underline{\nabla g})+ \nabla \times (\underline{f} \, \nabla g)$    
  $\displaystyle =(\nabla f)\times (\nabla g) + f \, (\nabla\times (\nabla g))$    
  $\displaystyle =\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits f\times \mathop{\mathrm{grad}}\nolimits g.$    

    
Q.E.D.


Skalarna i vektorska polja     VEKTORSKA ANALIZA     Potencijalna i solenoidalna polja