×   HOME NETPLOT OCTAVE Traži ...
  mat3
Gradijent, divergencija i rotacija     VEKTORSKA ANALIZA     Usmjerene derivacije


Potencijalna i solenoidalna polja

Definicija 1.12   Vektorsko polje $ \mathbf{w}:D\to V_0$ je potencijalno ili konzervativno ako postoji skalarno polje $ f:D\to R$ takvo da je1.2

$\displaystyle \mathbf{w}=-\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits f.
$

Polje $ f$ je potencijal polja $ \mathbf{w}$ . Polje $ \mathbf{w}$ je bezvrtložno ako je

$\displaystyle \mathop{\mathrm{rot}}\nolimits \mathbf{w}=\mathbf{0},
$

a solenoidalno ako je

$\displaystyle \mathop{\mathrm{div}}\nolimits \mathbf{w} = 0.
$

Primjer 1.5  
a)
Ako točke rotira oko čvrste osi brzinom $ \mathbf{w}$ , onda je $ \displaystyle \frac{1}{2} \mathop{\mathrm{rot}}\nolimits
\mathbf{w}$ kutna brzina te točke. Stoga $ \mathop{\mathrm{rot}}\nolimits \mathbf{w}\neq \mathbf{0}$ znači postojanje nekog vrtložnog gibanja.
b)
Gravitacijsko polje materijalne točke $ M$ mase $ m$ definirano s

$\displaystyle \mathbf{G} = K\, \frac{m}{r^2}\, \mathbf{r}_0,
$

gdje je

$\displaystyle \mathbf{r} = x\, \mathbf{i}+y\, \mathbf{j} + z\, \mathbf{k},\quad r=\vert\mathbf{r}\vert, \quad \mathbf{r}_0=\frac{\mathbf{r}}{r},
$

je potencijalno polje s potencijalom

$\displaystyle U=-K\, \frac{m}{r}.
$

c)
Solenoidalno polje je ono u kojem nema divergencije niti u jednoj točki. Za razjašnjenje ovog koncepta potrebno je razmatrati ne samo pojedinu točku, već i njenu okolinu. $ \mathop{\mathrm{div}}\nolimits \mathbf{w}=0$ znači da u svakoj maloj okolini neke točke količina promatrane vrijednosti uvijek ostaje konstanta (koliko uđe u okolinu, toliko izađe). Važan primjer su polja gibanja nestlačivih tekućina (voda) - ukoliko nemamo slučaj da se kemijskom reakcijom negdje generira nova masa, svako polje gibanje takve tekućine bit će solenoidalno.

Imamo sljedeći važan teorem.

Teorem 1.7   Neka je $ \mathbf{w}:D\to V_0$ diferencijabilno vektorsko polje, neka je skup $ D\subseteq \mathbb{R}^3$ konveksan i neka je $ K\subseteq D$ otvoreni kvadar. Tada vrijedi:
i)
Polje $ \mathbf{w}$ je potencijalno na $ D$ ako i samo ako je bezvrtložno na $ D$ , odnosno

$\displaystyle (\exists f:D\to \mathbb{R}) \quad \mathbf{w} = -\mathop{\mathrm{g...
...ongleftrightarrow \quad \mathop{\mathrm{rot}}\nolimits \mathbf{w} =\mathbf{0}.
$

ii)
Polje $ \mathbf{w}$ je solenoidalno na kvadru $ K$ ako i samo ako postoji dva puta diferencijabilno polje $ \mathbf{u}:K\to V_0$ takvo da je $ \mathbf{w}$ rotacija od $ \mathbf{u}$ , odnosno

$\displaystyle \mathop{\mathrm{div}}\nolimits \mathbf{w} = 0 \quad \Longleftrigh...
...thbf{u}:K\to V_0) \quad \mathbf{w}
=\mathop{\mathrm{rot}}\nolimits \mathbf{u}.
$

Dokaz.
i)
Potencijalno polje je uvijek bezvrtložno prema teoremu 1.6 v). Dokaz obrata preskačemo.
ii)
Dva puta diferencijabilno polje koje je nastalo kao rotacija nekog polja je uvijek solenoidalno prema teoremu 1.5 vi). Dokaz obrata preskačemo.
Q.E.D.


Gradijent, divergencija i rotacija     VEKTORSKA ANALIZA     Usmjerene derivacije