×   HOME NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika3
Potencijalna i solenoidalna polja     VEKTORSKA ANALIZA     KRIVULJNI INTEGRALI


Usmjerene derivacije

Neka su zadani skup $ D\in \mathbb{R}^3$ , točka $ T_0\in D$ i vektor $ \mathbf{a}$ s hvatištem u točki $ T_0$ . Neka je

$\displaystyle \mathbf{a}_0 =\frac{\mathbf{a}}{\vert\mathbf{a}\vert}
$

jedinični vektor vektora $ \mathbf{a}$ [M1, poglavlje 3.6]. Neka točka $ T$ leži na zraci određenoj vektorom $ \mathbf{a}$ i neka je

$\displaystyle \overrightarrow{T_0T}=t\, \mathbf{a}, \qquad t\geq 0.
$

Uz ovakvu deiniciju parametra $ t$ očito vrijedi $ d(T_0,T)=t$ .

Definicija 1.13   Derivacija skalarnog polja $ U:D\to \mathbb{R}$ u točki $ T_0$ u smjeru vektora $ \mathbf{a}$ je broj

$\displaystyle \frac{\partial U }{\partial \mathbf{a}}=\lim_{t\to 0} \frac{U(T)-U(T_0)}{t}.
$

Derivacija vektorskog polja $ \mathbf{w}:D\to V_0$ u točki $ T_0$ u smjeru vektora $ \mathbf{a}$ je vektor

$\displaystyle \frac{\partial \mathbf{w}}{\partial \mathbf{a}}=\lim_{t\to 0} \frac{\mathbf{w}(T)-\mathbf{w}(T_0)}{t}.
$

Sljedeći teorem daje jednostavne formule za računanje usmjerenih derivacija.

Teorem 1.8   Vrijedi

$\displaystyle \displaystyle \frac{\partial U(T) }{\partial \mathbf{a}}$ $\displaystyle = \mathbf{a}_0 \cdot \mathop{\mathrm{grad}}\nolimits U(T),$    
$\displaystyle \displaystyle \frac{\partial \mathbf{w}(T) }{\partial \mathbf{a}}$ $\displaystyle = (\mathbf{a}_0\cdot \nabla) \, \mathbf{w}(T).$    

Dokaz.
Dokažimo prvu tvrdnju teorema. Neka u sustavu $ (O,\mathbf{i},\mathbf{j}, \mathbf{k})$ vrijedi $ T=(x,y,z)$ , $ T_0=(x_0,y_0,z_0)$ i $ U(T)=U(x,y,z)$ . Tada jednakost

$\displaystyle \overrightarrow{OT}=\overrightarrow{OT_0}+\overrightarrow{T_0T}
$

zapisujemo kao

$\displaystyle x\, \mathbf{i}+y\, \mathbf{j} + z\, \mathbf{k}$ $\displaystyle = x_0\, \mathbf{i}+y_0\, \mathbf{j} + z_0\, \mathbf{k} +t\, \mathbf{a}_0$    
  $\displaystyle = (x_0+t\, \mathbf{a}_0 \cdot \mathbf{i}) \, \mathbf{i} + (y_0+t\...
...thbf{j}) \, \mathbf{j} + (z_0+t\, \mathbf{a}_0 \cdot \mathbf{k}) \, \mathbf{k}.$    

Dakle, za svaku točku $ T$ na zraci određenoj točkom $ T_0$ i vektorom $ \mathbf{a}$ vrijedi

$\displaystyle x=x_0+t\, \mathbf{a}_0 \cdot \mathbf{i},\quad y=y_0+t\, \mathbf{a}_0 \cdot \mathbf{j}, \quad
z=z_0+t\, \mathbf{a}_0 \cdot \mathbf{k}.
$

Stoga je limes iz definicije 1.13 u stvari jednak derivaciji funkcije jedne varijable

$\displaystyle g(t)=f(x_0+t\, \mathbf{a}_0 \cdot \mathbf{i},y_0+t\, \mathbf{a}_0 \cdot \mathbf{j},
z_0+t\, \mathbf{a}_0 \cdot \mathbf{k})
$

u točki $ t=0$ . Dakle,

$\displaystyle \displaystyle \frac{\partial U(T) }{\partial \mathbf{a}}(T_0)=\displaystyle \frac{dg}{dt}\bigg\vert _{t=0}$ $\displaystyle =\left(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}\,\displaystyle...
...artial z}\,\displaystyle \frac{\partial z}{\partial t} \right)\bigg\vert _{t=0}$    
  $\displaystyle =\left(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} \, \mathbf{a}_...
...tyle \frac{\partial f}{\partial z} \, \mathbf{a}_0\cdot \mathbf{k} \right)(T_0)$    
  $\displaystyle =\mathbf{a}_0 \cdot \left( \displaystyle \frac{\partial f}{\parti...
...athbf{j} \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}(T_0) \, \mathbf{k} \right)$    
  $\displaystyle =\mathbf{a}_0 \cdot \mathop{\mathrm{grad}}\nolimits U(T_0).$    

Q.E.D.

Primjer 1.6   Neka je zadano

$\displaystyle f(x,y,z)$ $\displaystyle =x^2+3\, y\, z +5,$    
$\displaystyle \mathbf{w}$ $\displaystyle =y\,z\, \mathbf{i} + z\, x\, \mathbf{j} + x\, y\, \mathbf{k},$    
$\displaystyle \mathbf{a}$ $\displaystyle = 2\, \mathbf{i} + \mathbf{j} -2\, \mathbf{k},$    
$\displaystyle T$ $\displaystyle =(1,-1/2,2).$    

Derivacija skalarnog polja $ f$ u smjeru vektora $ \mathbf{a}$ glasi

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \mathbf{a}}= \mathbf{a}_0 \cdot \matho...
... \mathbf{j} + 3\, y\, \mathbf{k}) =
\displaystyle \frac{4}{3}\, x + z -2\, y,
$

pa u točki $ T$ imamo

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \mathbf{a}}\left(1,-\frac{1}{2},2\right) =
\frac{13}{3}.
$

Derivacija vektorskog polja $ \mathbf{w}$ u smjeru vektora $ \mathbf{a}$ glasi

$\displaystyle \displaystyle \frac{\partial \mathbf{w}}{\partial \mathbf{a}}= (\mathbf{a}_0\cdot \nabla) \, \mathbf{w}$ $\displaystyle = \displaystyle \frac{2}{3}\, \frac{\partial}{\partial x} (y\,z\, \mathbf{i} + z\, x\, \mathbf{j} + x\, y\, \mathbf{k})$    
  $\displaystyle \quad + \displaystyle \frac{1}{3}\, \frac{\partial}{\partial y} (...
...ial}{\partial z} ( y\,z\, \mathbf{i} + z\, x\, \mathbf{j} + x\, y\, \mathbf{k})$    
  $\displaystyle =\displaystyle \frac{1}{3}\, (z-2\, y) \, \mathbf{i} + \displayst...
...}{3}\, (z-x)\, \mathbf{j} + \displaystyle \frac{1}{3}\, (2\, y-x)\, \mathbf{k},$    

pa u točki $ T$ imamo

$\displaystyle \displaystyle \frac{\partial \mathbf{w}}{\partial \mathbf{a}} \left(1,-\frac{1}{2},2\right)
=\mathbf{i} +\frac{2}{3}\, \mathbf{j}.
$

Napomena 1.3   Prema teoremu 1.8 funkcija (skalarno polje) $ U$ u danoj točki najbrže raste u smjeru $ \mathop{\mathrm{grad}}\nolimits U$ . Naime, izraz [M1, poglavlje 3.9]

$\displaystyle \mathbf{a}_0 \cdot\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits U = \vert\mathb...
...olimits U\vert\, \cos \angle(\mathbf{a}_0,\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits
U),
$

poprima najveću vrijednost $ \vert\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits U\vert$ u kada je $ \mathbf{a}_0=(\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits U)_0$ jer je tada

$\displaystyle \cos \angle(\mathbf{a}_0,\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits U)=\cos ...
...le((\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits U)_0,\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits U)=1.
$

Slično razmatranje pokazuje da u danoj točki skalarno polje $ U$ najbrže pada u smjeru $ -\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits U$ jer je onda $ \cos \angle(\mathbf{a}_0,\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits U)=-1$ .

Napomena 1.4   Vektor normale na nivo-plohu [M2, poglavlje 3.1] funkcije $ U(x,y,z)$ u točki $ T_0$ dan je s

$\displaystyle \mathbf{n}_0 =[\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits U(T_0)]_0.
$

Naime, jednadžba nivo-plohe u kojoj sve točke imaju vrijednost funkcije jednaku $ U(T_0)$ je $ U(x,y,z)=U(T_0)$ . Neka je

$\displaystyle \mathbf{r}=x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j} + z\,\mathbf{k}, \qquad d\mathbf{r} = dx\,\mathbf{i}+dy\,\mathbf{j}
+ dz\,\mathbf{k}.
$

Funkcije $ U$ je na nivo-plohi konstantna pa vrijedi

$\displaystyle 0=dU(x_0,y_0,z_0)=\frac{\partial U}{\partial x}\, dx
+ \frac{\pa...
...U}{\partial z}\, dz
=\mathop{\mathrm{grad}}\nolimits U(T_0) \cdot d\mathbf{r}.
$

No, pošto smo se ograničili na nivo-plohu, $ d\mathbf{r}$ je infinitezimalni pomak po tangencijalnoj ravnini te plohe u točki $ T_0$ . Prema prethodnoj jednakosti $ \mathop{\mathrm{grad}}\nolimits U(T_0)$ je okomit na $ d\mathbf{r}$ pa je stoga kolinearan s vektorom normale, odnosno

$\displaystyle \mathop{\mathrm{grad}}\nolimits U(T_0) = \lambda \mathbf{n}_0, \qquad \lambda\in \mathbb{R}, \quad \lambda \neq 0.
$


Potencijalna i solenoidalna polja     VEKTORSKA ANALIZA     KRIVULJNI INTEGRALI