Greenova formula

Sljedeći teorem je poopćenje Newton-Leibnitzove formule [M2, poglavlje 2.2] na dvodimenzionalni slučaj.

Teorem 2.2 [Green] Neka su

$\displaystyle P,Q:\mathcal{S}\to \mathbb{R}$

dvije diferencijabilne funkcije, pri čemu je $\mathcal{S}$ otvoren skup (bez ruba). Neka je $\overrightarrow{C}\subseteq \mathcal{D}$ pozitivno orijentirana po djelovima glatka krivulja i neka je

unija krivulje $\overrightarrow{C}$ i unurašnjeg područja kojeg ta krivulja omeđuje (vidi sliku 2.9). Tada je

$\displaystyle \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\, dx\, dy= \oint\limits_{\overrightarrow{C}}P\, dx+Q\, dy.$

**Slika 2.9:** Zatvoreni skup
$\begin{figure}\centering \epsfig{file=slike/zpo.eps, width=8cm} \end{figure}$

Greenov teorem vrijedi i u području s "rupama" (slika 2.10), pri čemu sve krivulje $\overrightarrow{C}_i$ moraju biti negativno orijentirane:

$\displaystyle \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\... ...P\, dx+Q\, dy+ \sum_{i=1}^k \oint\limits_{\overrightarrow{C}_i}P\, dx+Q\, dy.$

**Slika 2.10:** Područje s više zatvorenih krivulja
$\begin{figure}\centering \epsfig{file=slike/zpr.eps, width=7cm} \end{figure}$

Primjer 2.7 Izračunajmo

$\displaystyle \oint\limits_{\overrightarrow{C}} 2\, (x^2+y^2)\, dx+(x+y)^2\, dy,$

gdje je $\overrightarrow{C}$ rub trokuta s vrhovima

(slika 2.11).

**Slika 2.11:** Primjena Greenovog teorema
$\begin{figure}\centering \epsfig{file=slike/tro.eps, width=5cm} \end{figure}$

Prema Greenovom teoremu vrijedi

$\displaystyle I=\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}... ...nt\limits_1^2\int\limits_x^{-x+4} (\, 2\,(x+y)-4\,y)\, dy\, dx =-\frac{4}{3}.$

Zadatak 2.1 Izračunajte cirkulaciju iz primjera 2.7 bez primjene Greenovog teorema.

Korolar 2.1 Ako su ispunjeni uvjeti Greenovog teorema, onda je površina područja

dana s

$\displaystyle P(D)=\frac{1}{2} \oint\limits_{\overrightarrow{C}} -y\, dx+x\, dy.$

Dokaz.

Korolar slijedi direktno iz Greenovog teorema.

Q.E.D.

Greenovu formulu možemo još pisati i kao

$\displaystyle \oint\limits_{\overrightarrow{C}}P\, dx+Q\, dy= \oint\limits \mat... ...\iint_D \mathop{\mathrm{rot}}\nolimits \mathbf{w} \cdot \mathbf{k} \, dx\, dy.$

Potencijal KRIVULJNI INTEGRALI PLOŠNI INTEGRALI