×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ VEKTORSKA ANALIZA KRIVULJNI INTEGRALI PLOŠNI INTEGRALI

PODSJETNIK

SADRŽAJ VEKTORSKA ANALIZA KRIVULNJI INTEGRALI PLOŠNI INTEGRALI

NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika3 Plošni integral skalarnog polja     PLOŠNI INTEGRALI     Teoremi o divergenciji, gradijentu

Plošni integral vektorskog polja

Orijentaciju plohe u danoj točki definiramo kao orijentaciju normale tangencijalne ravnine u toj točki - svaka točka ima dvije moguće orijentacije. Zanimaju nas samo dvostrane plohe, odnosno plohe koje imaju dvije neprekidne orijentacije (vidi sliku 3.6).

Slika 3.6: Neprekidne orijentacije glatke plohe

Primjer jednostrane plohe koja nema dvije već samo jednu neprekidnu orijentaciju je Möbiusova vrpca prikazana na slici 3.7.

Slika: Möbiusova vrpca

Parametarska jednadžba Möbiusove vrpce poluširine $a$ i središnje kružnice radijusa $r$ je

$$x =( r + u\cos(v/2))\cos v,$$

$$y =( r + u\cos(v/2))\sin v,\qquad u\in[-a,a], \ v\in[0,2\, \pi],$$

$$z =u\sin(v/2).$$

Möbiusova vrpca se koristi kod konvejerskih traka kako bi se "obje" strane podjednako trošile i kod vrpca za beskonačno snimanje pri čemu se ujedno udvostručuje kapacitet snimanja.

Kod po dijelovima glatkih ploha sve dijelove moramo orijentirati suglasno kako je prikazano na slici 3.8.

Slika 3.8: Orijentacija po dijelovima glatke plohe

Kod zatvorenih ploha (na primjer, sfera) imamo vanjsku i unutrašnju orijentaciju (vidi sliku 3.9).

Slika 3.9: Vanjska i unutrašnja orijentacija sfere

Jedna od neprekidnih orijentacija dvostrane plohe $S$ zadane jednadžbom

$$z=g(x,y),\qquad (x,y)\in D\subseteq \mathbb{R}^2,$$

je dana poljem jediničnih vektora normale,

$$\mathbf{n}_0 =\frac{-\displaystyle \frac{\partial g}{\partial x} ... ...l x}\right)^2 + \left(\displaystyle \frac{\partial g}{\partial y}\right)^2 } }.$$ (3.1)

Plohu orijentiranu u smislu polja $\mathbf{n}_0$ označavamo sa $\overrightarrow{S}$ . Druga neprekdina orijentacija plohe $S$ je $-\mathbf{n}_0$ , a plohu orijentiranu pomoću te orijentacije označavamo sa $\overleftarrow{S}$ .

Definicija 3.4   Neka je $\mathbf{w}:D'\to V_0$ , $D'\subseteq \mathbb{R}^3$ , neprekidno vektorsko polje. Neka je glatka ploha $S\subseteq D'$ zadana funkcijom

$$z=g(x,y),\qquad (x,y)\in D,$$

gdje je $D$ otvoren skup s rubom koji je po dijelovima glatka zatvorena krivulja. Plošni integral vektorskog polja $\mathbf{w}$ po orijentiranoj plohi $D$ je broj

$$\iint\limits_D \left( w_x\left(-\frac{\partial g}{\partial x}\right)+ w_y\left(-\frac{\partial g}{\partial y}\right) +w_z\right) \, dx\, dy.$$

Koristeći definicije polja jediničnih normala $\mathbf{n}_0$ i elementa površine $\, dS$ , uz oznaku

$$d\overrightarrow{S}=\mathbf{n}_0 \, dS,$$

možemo pisati

$$\iint\limits_{\overrightarrow{S}} \mathbf{w} \, d\overrightarrow{S} = \iint\limits_S \mathbf{w}\cdot \mathbf{n}_0 \, dS.$$ (3.2)

Ovaj izraz nam ujedno daje i vezu plošnog integrala prve i druge vrste - plošni integral vektorskog polja $\mathbf{w}$ po orijentiranoj plohi $\overrightarrow{S}$ jednak je plošnom integralu skalarnog polja $\mathbf{w}\cdot \mathbf{n}_0$ po neorijentiranoj plohi $S$ .^3.1

Plošni integral vektorskog polja po po djelovima glatkoj plohi $\overrightarrow{S}$ sastavljenoj od suglasno orijentiranih ploha $\overrightarrow{S}_1,\ldots,\overrightarrow{S}_k$ definiramo kao

$$\iint\limits_{\overrightarrow{S}} \mathbf{w} \, d\overrightarrow{... ...dots + \iint\limits_{\overrightarrow{S}_k} \mathbf{w} \, d\overrightarrow{S}.$$

U fizici se $\iint\limits_{\overrightarrow{S}} \mathbf{w} \, d\overrightarrow{S}$ zove tok ili fluks vektorskog polja $\mathbf{w}$ kroz plohu $\overrightarrow{S}$ .

Bez dokaza navodimo sljedeće tvrdnje:

(i)

plošni integral vektorskog polja ne ovisi o parametrizaciji plohe, ali promjenom orijentacije mijenja predznak,

$$\iint\limits_{\overrightarrow{S}} \mathbf{w} \, d\overrightarrow{S} = -\iint\limits_{\overleftarrow{S}} \mathbf{w} \, d\overrightarrow{S}.$$

(ii)

plošni integral vektorskog polja je linearan, odnosno

$$\iint\limits_{\overrightarrow{S}} (\lambda \, \mathbf{w}+\mu\, \m... ...w{S} + \mu \iint\limits_{\overrightarrow{S}} \mathbf{u}\, d\overrightarrow{S}.$$

Polje jediničnih normala $\mathbf{n}_0$ možemo izraziti i pomoću kosinusa smjerova [M1, poglavlje 3.6],

$$\mathbf{n}_0 = \cos \alpha \, \mathbf{i} + \cos \beta \, \mathbf{j} + \cos \gamma \, \mathbf{k},$$

pri čemu su $\cos \alpha$ , $\cos \beta$ i $\cos \gamma$ funkcije od $x$ , $y$ i $z$ . Tada izraz (3.2) možemo zapisati kao

$$\iint\limits_{\overrightarrow{S}} \mathbf{w} \, d\overrightarrow{S}=\iint\limits_S (w_x\cos \alpha + w_y\cos \beta +w_z\cos \gamma)\, dS.$$

Koristeći formulu (3.1) za $\mathbf{n}_0$ imamo

$$\cos \gamma = \frac{1}{ \sqrt{1+\left(\displaystyle \frac{\partia... ...x}\right)^2 + \left(\displaystyle \frac{\partial g}{\partial y}\right)^2 } },$$

pa je

$$\iint\limits_S w_z\cos \gamma \, dS= \iint\limits_S w_z \, dx\, dy.$$

No, ako plohu $S$ opišemo pomoću projekcije na $yz$ -ravninu funkcijom

$$x=g_1(y,z),\qquad (y,z)\in D_1,$$

onda je

$$\mathbf{n}_0 =\frac{-\displaystyle \frac{\partial g_1}{\partial y... ...\right)^2 + \left(\displaystyle \frac{\partial g_1}{\partial z}\right)^2 } },$$

pa je

$$\iint\limits_S w_x\cos \alpha \, dS= \iint\limits_S w_x \, dy\, dz.$$

Slično, ako plohu $S$ opišemo pomoću projekcije na $xz$ -ravninu funkcijom

$$y=g_2(x,z),\qquad (x,z)\in D_2,$$

onda je

$$\iint\limits_S w_y\cos \beta \, dS= \iint\limits_S w_y \, dx\, dz$$

pa imamo

$$\iint\limits_{\overrightarrow{S}} \mathbf{w} \, d\overrightarrow{S}=\iint\limits_S w_x\, dy\, dz+ w_y\, dx\, dz +w_z\, dx\, dy.$$

Kod primjene ove formule još treba ispravno odrediti predznak integrala:

• kod prvog integrala, $\iint_S w_x\, dy\, dz$ , predznak će biti "$+$ " ako je kut između tražene normale i vektora $\mathbf{i}$ manji ili jednak $\pi/2$ ,
  $$\angle (\mathbf{n}_0,\mathbf{i})\leq \frac{\pi}{2},$$
  a u protivnom će predznak biti "$-$ ";
• kod drugog integrala, $\iint_S w_y\, dx\, dz$ , predznak će biti "$+$ " ako je kut između tražene normale i vektora $\mathbf{j}$ manji ili jednak $\pi/2$ , a u protivnom će predznak biti "$-$ "; i
• kod trećeg integrala, $\iint_S w_z\, dx\, dy$ , predznak će biti "$+$ " ako je kut između tražene normale i vektora $\mathbf{k}$ manji ili jednak $\pi/2$ , a u protivnom će predznak biti "$-$ " (vidi primjer 3.1).

Kako smo u izvodu prethodne formule zadanu plohu projicirali na tri koordinatne ravnine, plošni integral vekorskog polja još zovemo i integral po projekcijama. Uz oznake (2.1) iz prethodnih formula slijedi

$$\iint\limits_{\overrightarrow{S}} P\, dy\, dz+Q\, dx\, dz+R\, dx\, dy= \iint\limits_S(P\cos\alpha +Q\cos \beta + R\cos \gamma )\, dS.$$

Primjer 3.2   Izračunajmo

$$I=\iint\limits_{S^+} x^2\, dy\, dz+y^2\, dx\, dz+z^2\, dx\, dy,$$

gdje je $S^+$ vanjska strana desne polusfere $x^2+y^2+z^2=a^2$ .

a)

Integral ćemo prvo riješiti svođenjem na plošni integral skalarnog polja prema definiciji 3.4. Ploha je prikazana na slici 3.10.

Slika 3.10: Desna orijentirana polusfera

Vidimo da se oba dijela plohe, $S_1$ i $S_2$ projiciraju na isti skup $D$ u $xy$ -ravnini vrijedi

$$D =\{(x,y) \ \vert \ -a\leq x\leq a,\quad 0\leq y \leq \sqrt{a^2-x^2} \},$$

$$S_1 \quad \ldots \quad z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}, \quad (x,y)\in D,$$

$$S_2 \quad \ldots \quad z=-\sqrt{a^2-x^2-y^2}, \quad (x,y)\in D.$$

Za plohu $S_1$ vrijedi (uz $a>0$ )

$$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\displaystyle \frac{-... ...yle \frac{\partial z}{\partial y}=\displaystyle \frac{-y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}},$$

i

$$\mathbf{n}_0^{(1)} =\frac{ \displaystyle \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}\, \mathbf{i} +... ...\displaystyle \frac{x^2}{a^2-x^2-y^2} + \displaystyle \frac{y^2}{a^2-x^2-y^2}}}$$

$$= \displaystyle \frac{x}{a}\, \mathbf{i} + \displaystyle \frac{y}{a}\, \mathbf{j} + \displaystyle \frac{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}{a}\, \mathbf{k}.$$

Dakle,

$$I_1 =\iint\limits_{S_1^+} \mathbf{w}\, d\overrightarrow{S}$$

$$= \iint\limits_D \left (x^2 \, \displaystyle \frac{x}{\sqrt{a^2-x... ...2 \, \displaystyle \frac{y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} +a -x^2-y^2 \right) \, dx\, dy.$$

Za plohu $S_2$ vrijedi

$$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\displaystyle \frac{x... ...tyle \frac{\partial z}{\partial y}=\displaystyle \frac{y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}},$$

pa je

$$\mathbf{n}_0^{(2)} = -\frac{x}{a}\, \mathbf{i} - \displaystyle \frac{y}{a}\, \mathbf{j} + \displaystyle \frac{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}{a}\, \mathbf{k}.$$

No, kako nam je potrebna vanjska normala plohe $S_2$ , umjesto polja vanjskih normala $\mathbf{n}_0^{(2)}$ uzet ćemo polje $-\mathbf{n}_0^{(2)}$ , što daje

$$I_2 =\iint\limits_{S_2^+} \mathbf{w}\, d\overrightarrow{S}$$

$$= \iint\limits_D \left (x^2 \, \displaystyle \frac{x}{\sqrt{a^2-x... ...2 \, \displaystyle \frac{y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} -a +x^2+y^2 \right) \, dx\, dy.$$

Konačno,

$$I =I_1+I_2 = 2\, \iint\limits_D \displaystyle \frac{x^3+y^3} {\sqrt... ... \varphi ,&\varphi \in[0,\pi] \\ y=r\sin\varphi ,&r\in[0,a] \end{array}\right\}$$

$$=2\, \int\limits_0^{\pi} (\cos^3\varphi +\sin^3\varphi )\, d\varp... ...frac{r^3 \, r}{\sqrt{a^2-r^2}}\, dr=\cdots = \displaystyle \frac{a^4}{2}\, \pi.$$

b)

Sada ćemo itegral riješiti direktno po projekcijama,

$$I=\iint\limits_{S^+} x^2\, dy\, dz+y^2\, dx\, dz+z^2\, dx\, dy\equiv I_1+I_2+I_3.$$

Za integral $I_1$ , ploha $S$ se projicira na polukružnici prikazanu na slici 3.11.

Slika 3.11: Projekcije desne orijentirane polusfere na $yz$ -ravninu i $xy$ -ravninu

Za polovicu polusfere za koju je $x\geq 0$ uzimamo predznak "$+$ " jer je ku vanjske normale s vektorom $\mathbf{i}$ manji ili jednak $\pi/2$ , a za polovicu plosfere za koju je $x\leq 0$ uzimamo predznak "$-$ " (vidi sliku 3.10) pa uz $x^2=a^2-y^2-z^2$ vrijedi

$$I_1=\stackrel{\mathbf{n}}{+}\iint\limits_{D_1} (a^2-y^2-z^2)\, dy\, dz \stackrel{\mathbf{n}}{-}\iint\limits_{D_1} (a^2-y^2-z^2)\, dy\, dz=0.$$

Analogno, za $I_3$ imamo

$$I_3=\stackrel{\mathbf{n}}{+}\iint\limits_{D_3} (a^2-x^2-y^2)\, dx\, dy \stackrel{\mathbf{n}}{-}\iint\limits_{D_3} (a^2-x^2-y^2)\, dx\, dy=0,$$

gdje je $D_3$ prikazan na slici 3.11.

Za $I_3$ se cijela ploha $S$ projicira na središnji krug radijusa $a$ u $xz$ -ravnini. Predznak integrala je "$+$ " jer vanjska normala zatvara s vektorom $\mathbf{j}$ kut manji ili jednak $\pi/2$ (vidi sliku 3.10). Iz $y^2=a^2-x^2-z^2$ konačno imamo

$$I =I_2= \stackrel{\mathbf{n}}{+} \iint\limits_{D_2} (a^2-x^2-z^2) \... ...rphi ,&\varphi \in[0,2\, \pi] \\ z=r\sin\varphi ,&r\in[0,a] \end{array}\right\}$$

$$=\int\limits_0^{2\,\pi} \int\limits_0^a (a^2-r^2)\, r\, dr\, d\va... ...style \frac{r^4}{4} \right)\bigg\vert _0^a = \displaystyle \frac{a^4}{2}\, \pi.$$

Zadatak 3.2   Riješite integral iz primjera 3.1 svođenjem na plošni integral skalarnog polja ali tako da plohu ne treba rastavljati na dva dijela. Objasnite fizikalno rješenje primjera 3.1 na način b).

Plošni integral skalarnog polja     PLOŠNI INTEGRALI     Teoremi o divergenciji, gradijentu