×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ VEKTORSKA ANALIZA KRIVULJNI INTEGRALI PLOŠNI INTEGRALI

PODSJETNIK

SADRŽAJ VEKTORSKA ANALIZA KRIVULNJI INTEGRALI PLOŠNI INTEGRALI

NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika3 Integral vektorske funkcije     VEKTORSKA ANALIZA     Gradijent, divergencija i rotacija

Skalarna i vektorska polja

U ovom poglavlju je $D\subseteq \mathbb{R}^3$ , dok sa $V_T$ označavmo skup svih radijus-vektora u sustavu $(T,\mathbf{i},\mathbf{j}, \mathbf{k})$ .

Definicija 1.6  

i)

Skalarno polje je svaka funkcija $U:D\to R$ .

ii)

Vektorsko polje je svaka funkcija $\mathbf{w}:D\to V$ , gdje je $V=\cup_{T \in D} V_T$ i $\mathbf{w}(T)\in V_T$ .

Ako točka $T$ ima u koordinatnom sustavu $S=(O,\mathbf{i},\mathbf{j}, \mathbf{k})$ zapis $T=(x,y,z)$ , onda je skalarno polje zadano funkcijom tri varijable

$$U(T)=U(x,y,z)=f(x,y,z):D_S\to \mathbb{R},$$

pri čemu je $D_S$ opis skupa $D$ u sustavu $S$ . Vektorsko polje zadano je s

$$\mathbf{w}(T)= w_x(x,y,z)\, \mathbf{i}+ w_y(x,y,z)\, \mathbf{j} + w_z(x,y,z)\, \mathbf{k},$$

pri čemu se vektor $\mathbf{w}(T)$ nanosi iz točke $T$ .

Ako promijenimo koordinatni sustav, onda se polje naravno ne mijenja, ali se mijenja funkcija $f$ (funkcije $w_x$ , $w_y$ i $w_z$ ) s kojima je polje opisano. Osnovna svojstva polja (neprekidnost i diferencijabilnost) ne ovise o izboru koordinatnog sustava.

Radi jednostavnosti često ne pravimo razliku između polja $U$ i funkcije $f$ . Također, često sve prostore radijus-vektora $V_T$ identificiramo s $V_0$ , odnosno sve radijus-vektore $\mathbf{w}(T)$ nanosimo iz ishodišta.

Definicija 1.7   Skalarno polje $U$ je neprekidno (diferencijabilno) ako je njegov predstavnik funkcija $f:D_S\to \mathbb{R}$ neprekidna (diferencijabilna).

Vektorsko polje $\mathbf{w}$ je neprekidno (diferencijabilno) ako su takve sve njegove komponente $w_x,w_y,w_z:D_S\to \mathbb{R}$ .

Primjer 1.4  

a)

Neka je $D$ slup svih točka visoke peći i neka je $U$ skalarno polje u kojem $U(T)$ označava temperaturu tvari u točki $T$ u danom trenutku.

b)

Izrazom

$$U(x,y,z)=\frac{z}{x^2+y^2}$$

zadano je skalarno polje

$$U:\mathbb{R}^3\backslash \{ (0,0,z): z\in \mathbb{R}\}$$

koje je neprekidno i diferencijabilno na području definicije.

c)

Neka je $D$ skup svih točaka zemljine atmosfere, a $\mathbf{w}$ neka je vektorsko polje koje točki $T\in D$ pridružuje brzinu strujanja zraka $\mathbf{w}(T)$ u toj točci u danom trenutku.

d)

Neka je $g(x,y,z)$ iznos gravitacije u točki $T=(x,y,z)$ u sustavu $S=(O,\mathbf{i},\mathbf{j}, \mathbf{k})$ , gdje je $=$ središte zemlje. Iznos gravitacije se lagano mijenja s obzirom na udaljenost od središta zemlje pa polje $g$ nije konstantno. Nadalje, neka je $\mathbf{w}$ vektorsko polje u istom sustavu zadano s

$$w_x(x,y,z) =\frac{-x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},$$

$$w_y(x,y,z) =\frac{-y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},$$

$$w_z(x,y,z) =\frac{-z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}.$$

Tada je $g(T)\, \mathbf{w}(T)$ vektorsko polje gravitacije koje privlači u smjeru središta zemlje za iznos $g(T)$ (vrijedi $\vert\mathbf{w}(T)\vert=1$ ).

Definicija 1.8   Nivo-plohe ili ekvipotencijalne plohe skalarnog polja $U$ su plohe za koje je $U(x,y,z)=\textrm{konst}$ . Vektorske linije (silnice ili strujnice) su krivulje sa svojstvom da tangenta krivulje u danoj točki ima smjer vektorskog polja u toj točki.

Na primjer, nivo-plohe u primjeru 1.4 d) su mjesta u zemljinoj atmosferi koja imaju istu gravitaciju, dok su silnice pravci koji prolaze središtem zemlje.

Definicija 1.9   Polje koje ne ovisi o vremenu zove se stacionarno. Polje koje ne ovisi o vremenu je nestacionarno.

Na primjer, nestacionarna polja dobit ćemo ako u primjeru 1.4 a) i c) promatramo temperaturu odnosno strujanje zraka kroz neki vremenski interval.

Integral vektorske funkcije     VEKTORSKA ANALIZA     Gradijent, divergencija i rotacija