Integral vektorske funkcije

Definicija 1.5 Derivabilna vektorska funkcija $\mathbf{u}:D \to V_0$ je primitivna funkcija vektorske funkcije $\mathbf{w}$ na skupu $D\subseteq \mathbb{R}$ ako je

$\displaystyle \mathbf{u}'(t) = \mathbf{w}(t), \qquad \forall t\in D.$

Integral vektorske funkcije $\mathbf{w}$ na segmentu $[a,b]\subseteq D$ je vektor

$\displaystyle \int\limits_a^b \mathbf{w}(t)\, dt= \mathbf{u}(b)-\mathbf{u}(a).$

Kažemo da je $\mathbf{w}$ integrabilna na segmentu

. Ako zapisujemo po komponentama, onda je

$\displaystyle \int\limits_a^b \mathbf{w}(t)\, dt= \mathbf{i} \int\limits_a^b w_... ...athbf{j} \int\limits_a^b w_y(t)\, dt + \mathbf{k} \int\limits_a^b w_z(t)\, dt.$

Primitivne funkcije se međusobno razlikuju za konstantni vektor. Nadalje, slično kao u [M2, teorem 2.3], svaku primitivnu funkciju možemo dobiti pomoću

Teorem 1.3 [Svojstva integrala vektorske funkcije] Neka su funkcije $\mathbf{w}$ , $\mathbf{v}$ i $\varphi$ integrabilne na segmentu $[a,b]\subseteq D\subseteq \mathbb{R}$ . Tada vrijedi:

S1.

svojstvo lineanosti,

$\displaystyle \int\limits_a^b (\lambda \mathbf{w}(t)+\mu \mathbf{v} (t)) \, dt=... ...\int\limits_a^b \mathbf{w}(t) \, dt+ \mu \int\limits_a^b \mathbf{v}(t) \, dt,$

S2.

nejednakost trokuta^1.1

$\displaystyle \left\vert \int\limits_a^b \mathbf{w}(t) \, dt\right\vert \leq \int\limits_a^b \left\vert \mathbf{w}(t)\right\vert \, dt ,$

S3.

i dvije formule za parcijalnu integraciju

$\displaystyle \int\limits\limits_a^b \mathbf{w}(t)\cdot \mathbf{v}'(t)\, dt$	$\displaystyle = \mathbf{w}(b)\cdot \mathbf{v}(b)-\mathbf{w}(a)\cdot \mathbf{v}(a) - \int\limits\limits_a^b \mathbf{w}'(t)\cdot \mathbf{v}(t)\, dt,$
$\displaystyle \int\limits\limits_a^b \varphi(t) \mathbf{w}'(t)\, dt$	$\displaystyle = \varphi(b) \mathbf{w}(b)-\varphi(a) \mathbf{w}(a) - \int\limits\limits_a^b \varphi'(t) \mathbf{w}(t)\, dt.$

Primjer 1.3 Ubrzanje materijalne točke zadano je jednadžbom

$\displaystyle \mathbf{a}(t)=6\, t\, \mathbf{c}_1 + 2\,\mathbf{c}_2,$

gdje su $\mathbf{c}_1$ i $\mathbf{c}_2$ konstantni vektori i $t\geq 0$ . Želimo naći jednadžbu gibanja te točke uz početne uvjete $\mathbf{s}(0)=\mathbf{0}$ i $\mathbf{v}(0)=\mathbf{0}$ (u trenutku

točka kreće iz ishodišta iz stanja mirovanja). Kako je brzina $\mathbf{v}(t)$ primitivna funkcija ubrzanja, prema formuli (1.2) za neki konstantan vektor $\mathbf{v}_0$ vrijedi

$\displaystyle \mathbf{v}(t)=\int\limits_0^t \mathbf{a}(x)\, dx+\mathbf{v}_0.$

Dakle,

$\displaystyle \mathbf{v}(t)$	$\displaystyle =\int\limits_0^t (6\, x\, \mathbf{c}_1+2\mathbf{c}_2)\, dx+\mathbf{v}_0$
	$\displaystyle =\left(6\,\frac{x^2}{2} \, \mathbf{c}_1 + 2\, x\, \mathbf{c}_2 \right) \bigg\vert _0^{t} +\mathbf{v}_0$
	$\displaystyle = 3\, t^2 \mathbf{c}_1 + 2\, t \, \mathbf{c}_2 + \mathbf{v}_0.$

Iz početnog uvjeta slijedi $\mathbf{v}(0) = \mathbf{v}_0 = \mathbf{0}$ pa je

$\displaystyle \mathbf{v}(t)= 3\, t^2 \mathbf{c}_1 + 2\, t \, \mathbf{c}_2.$

Slično, ze neki konstantan vektor $\mathbf{s}_0$ vrijedi

$\displaystyle \mathbf{s}(t)=\int\limits_0^t \mathbf{v}(x)\, dx+\mathbf{s}_0,$

odnosno

$\displaystyle \mathbf{s}(t)$	$\displaystyle =\int\limits_0^t (3\, x^2\, \mathbf{c}_1+2\, x\, \mathbf{c}_2)\, dx+\mathbf{s}_0$
	$\displaystyle = t^3\, \mathbf{c}_1 + t^2 \, \mathbf{c}_2 + \mathbf{s}_0.$

Iz početnog uvjeta sada slijedi $\mathbf{s}(0) = \mathbf{s}_0 = \mathbf{0}$ pa je konačno

$\displaystyle \mathbf{s}(t)= t^3\, \mathbf{c}_1 + t^2\mathbf{c}_2.$