Natrag: QR RASTAV   Gore: QR RASTAV   Naprijed: QR rastav matrice  

QR rastav vektora i Householderov reflektor

U ovom i sljedećem poglavlju opisat ćemo detalje QR algoritma.

Neka je zadan $m$-dimenzionalni vektor

$$x=\begin{bmatrix}x_1 x_2 \vdots x_m \end{bmatrix}$$

i neka je

$$x=Qr$$

njegov QR rastav. Tada je zbog svojstva (2.2) $\Vert r\Vert=\Vert x\Vert$ pa vrijedi

$$r=\begin{bmatrix}\Vert x\Vert 0 \vdots 0 \end{bmatrix}$$   ili$$\quad r=\begin{bmatrix}-\Vert x\Vert 0 \vdots 0 \end{bmatrix}.$$

Nalaženje matrice $Q$ je složenije. U ovom slučaju matrica $Q$ jednaka je Householderovom reflektoru. Householderov reflektor je simetrična matrica definirana s

$$H=I - \frac{2}{v^T v}v v^T, \qquad v=\begin{bmatrix}x_1\pm \Vert x\Vert x_2 x_3 \vdots x_m \end{bmatrix}.$$ (2.3)

Uvrštavanjem se može provjeriti da za ovaj izbor matrice $H$ vrijedi

$$Hx=r=\begin{bmatrix}\mp \Vert x\Vert 0 \vdots 0 \end{bmatrix}.$$

Ortogonalnosti i simetričnosti matrice $H$ povlači

$$x= H^T (H x)=H^T r =Hr$$

pa smo dobili QR rastav vektora $x$.

Primjer 2.1   Ako je $x=\begin{bmatrix}3 & 1 & 5 & 1 \end{bmatrix}^T$, tada je $\Vert x\Vert=6$,

$$v=\begin{bmatrix}9 1 5 1 \end{bmatrix}, \quad H= \frac{... ...&-1&-5&53 \end{bmatrix}, \quad Hx=\begin{bmatrix}-6 0 0 0 \end{bmatrix}.$$

Napomena 2.1   U prethodnom primjeru uzeli smo da je $v_1=x_1+\Vert x\Vert$. U praksi se često zbog numeričke stabilnosti (izbjegavanje oduzimanja) uzima

$$v_1=x_1+\mathop{\mathrm{sign}}\nolimits (x_1) \Vert x\Vert.$$

Natrag: QR RASTAV   Gore: QR RASTAV   Naprijed: QR rastav matrice