Natrag: QR rastav vektora   Gore: QR RASTAV   Naprijed: Numeričko računanje QR  

QR rastav matrice

QR rastave matrice nalazimo rekurzivnom primjenom QR rastava vektora. Postupak ćemo ilustrirati na matrici tipa $5\times 3$. Neka je $a_1$ prvi stupac matrice $A\equiv A$ i neka je

$$H_1 a_1 = \begin{bmatrix}\pm \Vert a_1\Vert 0 0 0 0 \end{bmatrix}$$

QR rastav vektora $a_1$ izračunat prema postupku opisanom uz prethodnom poglavlju. Stavimo $Q_1=H_1$. Tada je (matrica $Q_1$ je simetrična)

$$Q_1 A = \left[ \begin{array}{c\vert c} \pm \Vert a_1\Vert & \begi... ...\\ \hline \begin{array}{c}0 0 0 0\end{array} & A_2 \end{array}\right].$$

Neka je $a_2$ prvi stupac matrice $A_2$ koja je tipa $4\times 2$ i neka je

$$H_2 a_2 = \begin{bmatrix}\pm \Vert a_2\Vert 0 0 0 \end{bmatrix}$$

QR rastav vektora $a_2$. Stavimo

$$Q_2=\begin{bmatrix}1 & & H_2 \end{bmatrix}.$$

Tada je

$$Q_2 Q_1 A = \left[ \begin{array}{cc\vert c} \begin{array}{c}... ...gin{array}{c}0 0 0 \end{array}& A_3 \end{array} \right]$$

pri čemu je matrica $A_3$ tipa $3\times 1$. Konačno, neka je $a_3=A_3$ i neka je

$$H_3 a_3 = \begin{bmatrix}\pm \Vert a_3\Vert 0 0 \end{bmatrix}$$

QR rastav matrice (vektora) $a_3$. Stavimo

$$Q_3=\begin{bmatrix}1 & & & 1 & & & H_3 \end{bmatrix}.$$

Tada je

$$Q_3 Q_2 Q_1 A = \begin{bmatrix}\pm \Vert a_1\Vert &\times & \time... ...mes \\ 0 & 0 & \pm \Vert a_3\Vert \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}=R.$$

Zbog ortogonalnosti i simetričnosti matrica $Q_i$, $i=1,2,3$, za matricu $Q=Q_1 Q_2 Q_3$ vrijedi

$$Q Q_3Q_2Q_1A= A=QR$$

pa sam tako dobili QR rastav matrice $A$.

Ovaj postupak se lako može poopćiti na matricu bilo koje dimenzije.

Natrag: QR rastav vektora   Gore: QR RASTAV   Naprijed: Numeričko računanje QR