Natrag: Metoda najmanjih kvadrata Gore: METODA NAJMANJIH KVADRATA Naprijed: QR rastav vektora

QR RASTAV

U ovom poglavlju dat ćemo definiciju QR rastava (QR dekompozicije) te njegova osnovna svojstva i opisati primjenu na rješavanje problema najmanjih kvadrata. Slično kao u prethodnom poglavlju, ograničit ćemo se na slučaj kada je zadana matrica tipa $m\times n$ , gdje je $m\geq n$ . QR rastav je također podloga za metode koje računaju svojstvene vrijednosti i vektore.

Definicija 2.1 Neka je

tipa $m\times n$ , $m\geq n$ . QR rastav matrice a glasi

$\displaystyle A=QR,$

pri čemu je

ortogonalna matrica dimenzije $m\times m$ , odnosno

$\displaystyle Q^TQ=Q Q^T=I,$

je $m\times n$ gornje trokutasta matrica.

Ako je, na primjer, matrica

tipa $5\times 3$ , tada rastav

možemo shematski prikazati na sljedeći način:

$\displaystyle \begin{bmatrix}\times & \times & \times \times & \times & \tim... ... 0 & \times & \times 0 & 0 & \times 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

(2.1)

Korištenje QR rastava za rješavanje problema najmanjih kvadrata temelji se na slijedećem važnom svojstvu ortogonalne matrice: za svaki vektor dimenzije $m\times 1$ vrijedi

$\displaystyle \Vert x \Vert=\Vert Qx\Vert.$

(2.2)

Zaista,

$\displaystyle \Vert Qx\Vert^2= (Qx)^T Qx = x^TQ^T Q x= x^T x = \Vert x\Vert^2.$

Slično je i $\Vert Q^Tx\Vert=\Vert x\Vert$ .

Osnovna svojstava QR rastava su slijedeća:

QR1.

QR rastav je jedinstven do na predznake stupaca matrice

i predznake redaka matrice

Neka je dijagonalna matrica reda s dijagonalnim elementima $J_{ii}\in\{-1,1\}$ . Matrica je očito simetrična i ortogonalna. Ako je $\bar Q=QJ$ i $\bar R=JR$ , tada je