×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  mat1
VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA     VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA     Zbrajanje vektora


Vektori

U ovom poglavlju definirat ćemo pojmove dužine, usmjerene dužine i vektora te navesti osnovno svojstvo trodimenzionalnog Euklidskog prostora $ \cal{E}$ . Pretpostavljamo da su pojmovi kao što su pravac, ravnina, kut i prostor poznati.

Definicija 3.1   Dužina $ \overline{PQ}$ je skup svih točaka pravca kroz točke $ P$ i $ Q$ koje se nalaze između točaka $ P$ i $ Q$ uključivši i njih. Duljina dužine $ \overline{PQ}$ je udaljenost točaka $ P$ i $ Q$ i označava se s $ d(P,Q)$ ili $ \vert PQ\vert$ .

Usmjerena dužina $ \overrightarrow{PQ}$ je dužina kod koje su rubne točke uređene, odnosno točka $ P$ je početak ili hvatište, a točku $ Q$ svršetak. Udaljenost točaka $ P$ i $ Q$ se u ovom slučaju zove duljina (norma ili intenzitet) usmjerene dužine $ \overrightarrow{PQ}$ i označava s $ \vert\overrightarrow{PQ}\vert$ .

Usmjerene dužine $ \overrightarrow{PQ}$ i $ \overrightarrow{P'Q'}$ su ekvivalentne, odnosno

$\displaystyle %
\overrightarrow{PQ}\sim \overrightarrow{P'Q'},
$

ako dužine $ \overline{P'Q}$ i $ \overline{PQ'}$ imaju zajedničko polovište (vidi sliku 3.1) .

Vektor je klasa ekvivalencije usmjerenih dužina. Vektore označavamo s

$\displaystyle %
\mathbf{a},\ \mathbf{b},\ \mathbf{c}, \ldots,
\mathbf{a},\ \mathbf{b},\ \mathbf{c}, \ldots.
$

Ako je usmjerena dužina $ \overrightarrow{PQ}$ predstavnik vektora $ \mathbf{a}$ , tada je duljina (norma ili intenzitet) vektora $ \mathbf{a}$ jednaka udaljenosti točaka $ P$ i $ Q$ . Duljinu vektora označavamo s $ \vert\mathbf{a}\vert$ .

Nul-vektor je vektor koji ima početak i kraj u istoj točki. Nul-vektor označavamo s $ \mathbf{0}$ , vrijedi $ \vert\mathbf{0}\vert=0$ , a njegovi predstavnici su sve usmjerene dužine oblika $ \overrightarrow{PP}$ .

Slika 3.1: Ekvivalentne usmjerene dužine
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=slike/usmd.eps,width=8.4cm}\end{center}\end{figure}

Dokažimo da je relacija $ \sim$ iz definicije 3.1 zaista relacija ekvivalencije. Prema definiciji 1.4, relacija ekvivalencije je refleksivna, simetrična i tranzitivna. Očito je $ \overrightarrow{PQ}\sim \overrightarrow{PQ}$ pa je relacija $ \sim$ refleksivna. Također, ako je $ \overrightarrow{PQ}\sim \overrightarrow{P'Q'}$ , tada je i $ \overrightarrow{P'Q'}\sim \overrightarrow{PQ}$ pa je relacija $ \sim$ simetrična. Dokaz tranzitivnosti je nešto složeniji. Ukoliko točke $ P$ , $ Q$ , $ P'$ i $ Q'$ ne leže na istom pravcu, tada je $ \overrightarrow{PQ}\sim \overrightarrow{P'Q'}$ ako i samo ako su točke $ PQQ'P'$ susjedni vrhovi paralelograma (vidi sliku 3.1). Ukoliko točke $ P$ , $ Q$ , $ P'$ i $ Q'$ leže na istom pravcu, tada je $ \overrightarrow{PQ}\sim \overrightarrow{P'Q'}$ ako i samo ako vrijedi

$\displaystyle d(P,Q)=d(P',Q') \quad \wedge \quad d(P,P')=d(Q,Q').
$

U ovom slučaju kažemo da su točke $ PQQ'P'$ susjedni vrhovi degeneriranog paralelograma. Stoga, ako je

$\displaystyle %
\overrightarrow{PQ}\sim \overrightarrow{P'Q'}\qquad
\wedge \qquad
\overrightarrow{P'Q'}\sim \overrightarrow{P''Q''},
$

tada su točke $ PQQ'P'$ susjedni vrhovi nekog paralelograma ili degeneriranog paralelograma, a isto vrijedi i za točke $ P'Q'Q''P''$ . Tada su i točke $ PQQ''P''$ susjedni vrhovi nekog paralelograma ili degeneriranog paralelograma. Dakle $ \overrightarrow{PQ}\sim \overrightarrow{P''Q''}$ pa je relacija $ \sim$ tranzitivna.

Vezu između usmjerenih dužina i vektora daje nam osnovno svojstvo euklidskog prostora: ako je $ P\in \cal{E}$ proizvoljna točka i $ \mathbf{a}$ zadani vektor, tada postoji jedinstvena točka $ Q$ takva da je usmjerena dužina $ \overrightarrow{PQ}$ predstavnik vektora $ \mathbf{a}$ . S ovim postupkom je vektor $ \mathbf{a}$ sveden na početak $ P$ odnosno nanesen na $ P$ . U primjenama često pišemo i

$\displaystyle %
\mathbf{a}=\overrightarrow{PQ}.
$

Premda taj zapis nije sasvim korektan jer je vektor $ \mathbf{a}$ klasa ekvivalencije, a $ \overrightarrow{PQ}$ samo jedan predstavnik tog vektora, zbog osnovnog svojstva euklidskog prostora uvijek je jasno o kojem se vektoru radi. Stoga uglavnom nećemo praviti razliku između vektora i njegovog predstavnika.

Definicija 3.2   Vektori $ \mathbf{a}$ i $ \mathbf{b}$ su kolinearni ako leže na istom ili paralelnim pravcima. Ako su vektori $ \mathbf{a}$ i $ \mathbf{b}$ kolinearni, možemo odbrati točke $ O$ , $ A$ i $ B$ koje leže na istom pravcu takve da je

$\displaystyle %
\mathbf{a}=\overrightarrow{OA}, \qquad \mathbf{b}=\overrightarrow{OB}.
$

Vektori $ \mathbf{a}$ i $ \mathbf{b}$ imaju istu orijentaciju ako se točke $ A$ i $ B$ nalaze s iste strane točke $ O$ . Vektori $ \mathbf{a}$ i $ \mathbf{b}$ imaju suprotnu orijentaciju ako se točke $ A$ i $ B$ nalaze s različitih strana točke $ O$ .

Iz definicije slijedi da su dva vektora jednaka ako su kolinearni, istog smjera i jednake duljine. Posebno, nul-vektor je kolinearan sa svakim vektorom i za njega nema smisla govoriti o orijentaciji.


VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA     VEKTORSKA ALGEBRA I ANALITIČKA     Zbrajanje vektora