☰ matematika1

Osnove matematike Vektorska algebra i analitička

Linearna algebra

1.

Što je sustav linearnih jednadžbi?

2.

Što je matrica?

Kako zbrajamo matrice?

Kako množimo matrice?

3.

Što je jedinična matrica; nul-matrica;

transponirana matrica; simetrična matrica?

4.

Kako pomoću matrice zapisujemo sustav linearnih jednadžbi?

5.

Kako rješavamo trokutaste sustave?

Opišite postupak Gaussove eliminacije.

Što je pivotiranje?

6.

Kada su vektori linearno nezavisni?

Kako definiramo rang matrice?

Kako određujemo rang matrice?

7.

Kada kažemo da su dvije matrice ekvivalentne

i što vrijedi u tom slučaju?

8.

Kako glasi Kronecker-Capellijev teorem? Dokažite da je sustav $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ rješiv ako i samo ako je $\mathop{\mathrm{rang}}(A)=\mathop{\mathrm{rang}}(\begin{bmatrix}A&\vline &\mathbf{b} \end{bmatrix})$ .

9.

Što je inverzna matrica? Dokažite da je inverzna matrica jedinstvena ako postoji. Dokažite da je

$\displaystyle (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.$

10.

Opišite postupak traženja inverzne matrice.

11.

Dokažite da je matrica

reda

regularna ako i samo ako je $\mathop{\mathrm{rang}}(A)=n$ .

12.

Definirajte slijedeće pojmove: permutacija, inverzija, parnost.

13.

Što je determinanta?

14.

Navedite i dokažite svojstva determinanti:

a): determinanta trokutaste matrice jednaka je produktu elemenata na dijagonali,
b): $\det (A) = \det (A)^T$ ,
c): zamjenom dvaju stupaca (redaka) determinanta mijenja predznak,
d): determinanta matrice s dva jednaka stupca (retka) jednaka je nuli,
e): determinanta je linearna funkcija svojih stupaca (redaka),
f): ako determinanta ima nul stupac (redak), onda je jednaka nuli,
g): determinanta se ne mijenja ako nekom stupcu (retku) pribrojimo neki drugi stupac (redak) pomnožen nekim brojem,
h): $\det(A\cdot B)=\det(A)\det(B)$ ako obje determinante na desnoj strani postoje (bez dokaza).

15.