Stokesova formula

Stokesova formula je poopćenje Greenove formule iz poglavlja 2.5 na plohe i krivulje u prostoru.

Konzistentna orijentacija plohe i njenog ruba je kada orijentacija ruba zajedno s normalom u svakoj točki plohe čine desni koordinatni sustav. Možemo se izraziti i drukčije: plohu i njen rub orijentiramo tako da gledano iz vrha bilo koje normale rub bude pozitivno orijentiran. Konzistentne orijentacije plohe prikazane su na slici 3.12.

**Slika 3.12:** Konzistentne orijentacije plohe i njenog ruba
$\begin{figure}\centering \epsfig{file=slike/P11.eps, width=12cm} \end{figure}$

Teorem 3.4 [Stokes] Neka je $\mathbf{w}:D\to V_0$ neprekidno diferencijabilno vektorsko polje, pri čemu je $D\subseteq \mathbb{R}^3$ otvoren skup. Neka je $\overrightarrow{S}$ po dijelovima glatka ploha orijentirana poljem jediničnih vektora normale $\mathbf{n}_0$ i neka je $\overrightarrow{\partial S}$ konzistentno orijentiran tub plohe $\overrightarrow{S}$ ( $\partial S$ je po dijelovima glatka krivulja). Tada vrijedi

$\displaystyle \iint\limits_{\overrightarrow{S}} \mathop{\mathrm{rot}}\nolimits ... ..., d\mathbf{r} = \oint\limits_{\partial S}\mathbf{w} \cdot \mathbf{t}_0 \, ds.$

Primjer 3.5 Izračunajmo cirkulaciju vektorskog polja

$\displaystyle \mathbf{w}=x^2\,y^3\, \mathbf{i} + \mathbf{j} + z\, \mathbf{k}$

duž ruba plohe

$\displaystyle z=\sqrt{2-x^2-y^2}$

orijentiranog u negativnom smislu gledano iz vrha vektora $-\mathbf{k}$ .

Ploha je gornja polusfera radijusa $\sqrt{2}$ . Iz slike 3.13 zaključujemo da je ploha orijentirana vanjskom normalom sfere te da je rub plohe kružnica koja omeđuje krug .

**Slika 3.13:** Gornja polusfera i njen rub
$\begin{figure}\centering \epsfig{file=slike/P12.eps, width=7cm} \end{figure}$

Izračunajmo $\cos \alpha$ , $\cos \beta$ i $\cos \gamma$ (odnosno $\mathbf{n}_0$ ) kako bi primijenili skalarni oblik Stokesove formule. Vrijedi

$\displaystyle \mathbf{n}_0 = \frac{x}{\sqrt{2}}\, \mathbf{i} + \frac{y}{\sqrt{2}}\, \mathbf{j} + \frac{\sqrt{2-x^2-y^2}}{\sqrt{2}}\, \mathbf{k}$

pa je

$\displaystyle I$	$\displaystyle =\oint\limits_{\overrightarrow{K}} (x^2\, y^2 \, dx+ \, dy+ z\, \, dz)$
	$\displaystyle = \iint\limits_S \left[(0-0)\, \displaystyle \frac{x}{\sqrt{2}} +... ...-3\, x^2\,y^2)\, \displaystyle \frac{\sqrt{2-x^2-y^2}}{\sqrt{2}} \right] \, dS.$

Ovo je plošni integral skalarnog polja kojeg ćemo riješiti projiciranjem plohe

-ravninu - projekcija je središnji krug

radijusa $\sqrt{2}$ . Dakle,

$\displaystyle I$	$\displaystyle =\iint\limits_D (-3\, x^2\,y^2) \cdot \displaystyle \frac{\sqrt{2... ...^2}}{\sqrt{2}} \cdot \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2-x^2-y^2}} \, dx\, dy$
	$\displaystyle = -3\iint\limits_D x^2\, y^2 \, dx\, dy= \left\{ \begin{array}{ll... ...\varphi \in[0,2\, \pi] \\ y=r\sin\varphi ,&r\in[0,\sqrt{2}] \end{array}\right\}$
	$\displaystyle = -3 \int\limits_0^{2\,\pi} \int\limits_0^{\sqrt{2}} r^2\cos^2\varphi \cdot r^2\sin^2\varphi \cdot r\, dr\, d\varphi =\cdots =-\pi.$

$\displaystyle \oint\limits_{\overrightarrow{\partial S}} P\, dx+Q\, dy+R\, dz$	$\displaystyle = \iint\limits_S \left[ \left(\displaystyle \frac{\partial R}{\partial y}- \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial z}\right)\cos\alpha \ + \right.$
	$\displaystyle \quad + \left. \left(\displaystyle \frac{\partial P}{\partial z}-... ...x}- \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}\right)\cos\gamma \right] \, dS.$