×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ VEKTORSKA ANALIZA KRIVULJNI INTEGRALI PLOŠNI INTEGRALI

PODSJETNIK

SADRŽAJ VEKTORSKA ANALIZA KRIVULNJI INTEGRALI PLOŠNI INTEGRALI

NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika3 VEKTORSKA ANALIZA     VEKTORSKA ANALIZA     Derivacija vektorske funkcije

Vektorska funkcija skalarne varijable

Neka $V_0$ označava skup svih radijus-vektora u pravokutnom koordinatnom sustavu $(O,\mathbf{i},\mathbf{j}, \mathbf{k})$ [M1, poglavlje 3.4],

$$V_0=\left\{ \overrightarrow{OM} \vert M=(x,y,z)\in \mathbb{R}^3\right\}.$$

Definicija 1.1   Vektorska funkcija skalarne varijable (kraće: vektorska funkcija) je svaka funkcija

$$\mathbf{w} : D\to V_0,\qquad D\subseteq \mathbb{R}^n.$$

Za svaku točku $t\in D$ je $\mathbf{w}(t)$ radijus-vektor pa ga možemo razložiti po komponentama:

$$\mathbf{w}(t)=w_x(t) \mathbf{i} + w_y(t) \mathbf{j} + w_z(t) \mathbf{k}.$$ (1.1)

Komponente vektorske funkcije su prema tome tri funkcije $n$ varijabli,

$$w_x,w_y,w_z : D\to \mathbb{R}.$$

Za razliku od funkcija jedne ili više varijabli koje smo razmatrali u kolegijima Matematika 1 i Matematika 2, vektorske funkcije nemaju graf u klasičnom smislu te riječi. Umjesto toga definiramo hodograf ili trag vektorske funkcije $\mathbf{w}$ kao skup svih točaka koje opisuju vrhovi radijus-vektora $\mathbf{w}(t)$ kada $t$ poprima vrijednosti iz domene $D$ .

Primjer 1.1  

i)

Za $n=3$ možemo promatrati vektorsku funkciju $\mathbf{w}(T)$ koja svakoj točki u prostoru pridružuje vektor koji opisuje smjer i iznos strujanja zraka (vjetra) u toj točki.

ii)

Posebno nas zanima slučaj kada je $n=1$ , odnosno kada je $D\subseteq \mathbb{R}$ . Izrazom

$$\mathbf{w}(t)= \cos\pi t \mathbf{i} + 2\sin\pi t \mathbf{j} + 2t \mathbf{k},\quad t\in \mathbb{R},$$

zadana je cilindrična eliptička spirala. Krivulja leži na plaštu eliptičkog cilindra [M2, poglavlje 3.4.5]

$$x^2+\frac{y^2}{4}=1,$$

sastoji se od točaka $(x(t),y(t),z(t))$ gdje je

$$x(t) =\cos \pi t,$$

$$y(t) =2\sin \pi t,$$

$$z(t) =2t.$$

Ovo je ujedno i primjer parametarskog načina zadavanja prostorne krivulje.

Zadatak 1.1   Izračunajte vrijednsti vektorske funkcije iz primjera 1.1 ii) za $t=0,1/2, 1, 3/2, 2,-1/2$ . Zadanu spiralu prvo skicirajte, a potom nacrtajte pomoću programa NetPlot.

Od sada nadalje pretpostavit ćemo da je $n=1$ , odnosno $D\subseteq \mathbb{R}$ .

Definicija 1.2   Vektor $\mathbf{a}$ je limes vektorske funkcije $\mathbf{w}:D\to V_0$ u točki $t_0$ ,

$$\mathbf{a}=\lim_{t\to t_0} \mathbf{w}(t),$$

pri čemu je $t\in(t_1,t_2)\subseteq D$ , ako

$$(\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) \textrm{ tako ... ...-t_0\vert< \delta \Rightarrow \vert\mathbf{w}(t)-\mathbf{a}\vert< \varepsilon.$$

Ova definicija je formalno jednaka definiciji limesa funkcije jedne varijable [M1, definicija 4.5], s time što $\vert\mathbf{w}(t)-\mathbf{a}\vert$ označava duljinu vektora $\mathbf{w}(t)-\mathbf{a}$ odnosno udaljenost vektora $\mathbf{w}(t)$ i $\mathbf{a}$ : ako je $\mathbf{w}(t)$ zadan s (1.1) i

$$\mathbf{a}=a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k},$$

onda je [M1, poglavlje 3.6]

$$\vert\mathbf{w}(t)-\mathbf{a}\vert=\sqrt{(w_x(t)-a_x)^2+(w_y(t)-a_y)^2+(w_z(t)-a_z)^2}.$$

Napomena 1.1   Iz definicije 1.2 također slijedi

$$\mathbf{a}=\lim_{t\to t_0} \mathbf{w}(t) \Leftrightarrow \left\{ ... ..._{t\to t_0} w_y(t), \\ a_z=\lim\limits_{t\to t_0} w_z(t). \end{array}\right.$$

Iz ovog rastava po komponentama i definicija skalarnog i vektorskog produkta (vidi [M1, poglavlje 3.9] i [M1, poglavlje 3.10]) slijede standardne tvrdnje o limesu zbroja i produkta: ako svi limesi postoje, onda vrijedi

$$\lim_{t\to t_0} (\mathbf{w} +\mathbf{u})(t) = \lim_{t\to t_0} \mathbf{w}(t) +\lim_{t\to t_0} \mathbf{u}(t),$$

$$\lim_{t\to t_0} (\mathbf{w} \cdot\mathbf{u})(t) = \lim_{t\to t_0} \mathbf{w}(t) \cdot\lim_{t\to t_0} \mathbf{u}(t),$$

$$\lim_{t\to t_0} (\mathbf{w} \times\mathbf{u})(t) = \lim_{t\to t_0} \mathbf{w}(t) \times\lim_{t\to t_0} \mathbf{u}(t).$$

Nakon što smo definirali limes, prirodno slijedi definicija neprekidnosti koja je identična onoj iz [M1, poglavlje 4.4].

Definicija 1.3   Funkcija $\mathbf{w}:D\to V_0$ je neprekidna u točki $t_0\in D$ ako i samo ako je

$$\lim_{t\to t_0} \mathbf{w}(t)=\mathbf{w}(t_0).$$

Funkcija $\mathbf{w}$ je neprekidna ako je neprekidna u svakoj točki $t\in D$ .

Iz definicije neprekidnosti slijedi da je vektorska funkcija neprekidna ako i samo ako su njene komponente $w_x$ , $w_y$ i $w_z$ neprekidne funkcije. Na primjer, funkcija $\mathbf{w}$ iz primjera 1.1 ii) je očito neprekidna.

Napomena 1.2   Defincije 1.2 i 1.3 vrijede i kada je $n>1$ , s time što u definiciji 1.2 umjesto $\vert t-t_0\vert<\delta$ uzimamo otvorenu kuglu oko točke $t_0$ , odnosno pišemo $t\in K(t_0,\delta)$ (vidi [M2, definicija 3.4]).

VEKTORSKA ANALIZA     VEKTORSKA ANALIZA     Derivacija vektorske funkcije