×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ VEKTORSKA ANALIZA KRIVULJNI INTEGRALI PLOŠNI INTEGRALI

PODSJETNIK

SADRŽAJ VEKTORSKA ANALIZA KRIVULNJI INTEGRALI PLOŠNI INTEGRALI

NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika3 Vektorska funkcija skalarne varijable     VEKTORSKA ANALIZA     Integral vektorske funkcije

Derivacija vektorske funkcije

Definicija 1.4   Derivacija vektorske funkcije $\mathbf{w}:D\to V_0$ u točki $t_0$ je limes

$$\mathbf{w} '(t_0)=\lim_{t\to t_0} \frac{\mathbf{w}(t)-\mathbf{w}(t_0)}{t-t_0},$$

ako taj limes postoji. Na ovaj način definirali smo novu funkciju $\mathbf{w}'(t)$ koju zovemo derivacija funkcije $\mathbf{w}$ . Funkcija $\mathbf{w}$ je derivabilna ako ima derivaciju u svakoj točki $t\in D$ .

Za prikaz po komponentama vrijedi

$$\mathbf{w} '(t)=w'_x(t) \mathbf{i} + w'_y(t) \mathbf{j} + w'_z(t) \mathbf{k},$$

što se vidi uvrštavanjem prikaza 1.1 u gornji limes. Drugim riječima, funkcija $\mathbf{w}$ ima derivaciju u točki $t$ ako i samo ako sve njene komponente imaju derivaciju u točki $t$ .

Slično kao u [M1, poglavlje 5.1], derivaciju također možemo definirati pomoću izraza

$$\mathbf{w} '(t)=\lim_{\Delta t\to 0} \frac{\mathbf{w}(t+\Delta t)-\mathbf{w}(t)}{\Delta t}.$$

Primjer 1.2   Neka je

$$\mathbf{s}(t) = \cos\pi t \mathbf{i} + 2\sin\pi t \mathbf{j} + 2t \mathbf{k},\quad t\geq 0,$$

jednažba gibanja materijalne točke. Brzina $\mathbf{v}(t)$ i ubrzanje $\mathbf{a}(t)$ te točke u trenutku $t$ su dani s

$$\mathbf{v}(t) =\mathbf{s} '(t) = -\pi \sin\pi t \mathbf{i} + 2 \pi \cos \pi t \mathbf{j} + 2 \mathbf{k},$$

$$\mathbf{a}(t) =\mathbf{v} '(t) = \mathbf{s} ''(t)= -\pi^2 \cos\pi t \mathbf{i} - 2 \pi^2 \sin \pi t \mathbf{j}.$$

Primijetimo da je $\mathbf{k}$ komponenta ubrzanja jednaka nuli, što je logično je je komponenta gibanja u smjeru $\mathbf{k}$ linerana pa nema promjene brzine.

Teorem 1.1   Neka su $\mathbf{w}, \mathbf{u} : D\to V_0$ derivabilne vektorske funkcije i neka je $f:D\to R$ derivabilna (skalarna) funkcija. Vrijedi

i)

$(\lambda \mathbf{w}+\mu \mathbf{u})'=\lambda \mathbf{w}'+\mu \mathbf{u}',\qquad \forall \lambda,\mu \in \mathbb{R}$ ,

ii)

$(f\mathbf{w})'=f'\mathbf{w} + f\mathbf{w}'$ ,

iii)

$\left(\displaystyle \frac{\mathbf{w}}{f}\right)'=\displaystyle \frac{f\mathbf{w}' - f'\mathbf{w}}{f^2},\qquad \textrm{uz } f\neq 0$ ,

iv)

$(\mathbf{w}\cdot \mathbf{u})'=\mathbf{w}' \cdot \mathbf{u} + \mathbf{w}\cdot \mathbf{u}'$ ,

v)

$(\mathbf{w}\times \mathbf{u})'=\mathbf{w}' \times \mathbf{u} + \mathbf{w}\times \mathbf{u}'$ .

Dokaz.

Tvrdnje se dokazuju direktno pomoću definicije derivacije.

Vrijedi

$$(\mathbf{w} \times \mathbf{u})'(t) = \lim_{\Delta t\to 0} \displaystyle \frac{(\mathbf{w}\times \mathbf{u})(t+\Delta t)-(\mathbf{w}\times \mathbf{u})(t)}{\Delta t}$$

$$= \lim_{\Delta t\to 0} \displaystyle \frac{\mathbf{w}(t+\Delta t)\times \mathbf{u}(t+\Delta t) - \mathbf{w}(t)\times \mathbf{u}(t)}{\Delta t}$$

$$+ \lim_{\Delta t\to 0} \displaystyle \frac{\mathbf{w}(t)\times \mathbf{u}(t+\Delta t)- \mathbf{w}(t)\times \mathbf{u}(t+\Delta t)}{\Delta t}$$

$$= \lim_{\Delta t\to 0}\displaystyle \frac{(\mathbf{w}(t+\Delta t)-\mathbf{w}(t))\times \mathbf{u}(t+\Delta t)}{\Delta t}$$

$$+ \lim_{\Delta t\to 0}\displaystyle \frac{\mathbf{w}(t)\times (\mathbf{u}(t+\Delta t)-\mathbf{u}(t))}{\Delta t}.$$

    

Q.E.D.

Zadatak 1.2   Dokažite još barem jednu tvrdnju teorema 1.1.

Diferencijal definiramo slično kao kod funkcije jedne varijable [M1, poglavlje 5.2]:

$$d \mathbf{w} (t)=\mathbf{w}'(t) dt.$$

Teorem 1.1 vrijedi i za diferencijale.

Formulu za derivaciju složene funkcije daje nam sljedeći teorem kojeg navodimo bez dokaza.

Teorem 1.2   [Derivacija složene funkcije] Neka je $\mathbf{w}:D\to V_0$ i $\varphi:D_1\to \mathbb{R}$ , pri čemu je $\varphi[D_1]\subseteq D$ . Ako su funkcije $\mathbf{w}$ i $\varphi$ derivabilne, onda je

$$\frac{d(\mathbf{w}(\varphi(t)))}{dt}=\frac{d\mathbf{w}}{d\varphi}\cdot \frac{d\varphi}{dt}\equiv \mathbf{w}'(\varphi) \cdot \varphi'(t).$$

Vektorska funkcija skalarne varijable     VEKTORSKA ANALIZA     Integral vektorske funkcije