×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  mat1
Determinante     Determinante     Podmatrice i poddeterminante


Svojstva determinanti

Navodimo najvažnija svojstva determinanti. Dokazi nekih tvrdnji dani su u obliku uputa ili naznaka ili u vrlo sažetom obliku.

D1.
Determinanta trokutaste matrice jednaka je produktu elemenata na dijagonali.

Ako je $ A$ recimo gornje trokutasta matrica, tada svi umnošci u (2.8), osim $ a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$ , imaju barem jedan element iz donjeg trokuta pa su jednaki nula. Na primjer, za jediničnu matricu vrijedi

$\displaystyle %
\det(I)=1.
$

D2.
$ \det(A)=\det(A^T)$ .

Jednakost vrijedi zbog formula (2.8) i (2.9). Iz ovog svojstva zaključujemo da sva svojstva koja ćemo navesti za retke vrijede i za stupce.

D3.
Zamjenom dvaju stupaca determinanta mijenja predznak.

Zamjenom dvaju stupaca u svakom umnošku u formuli (2.8) dolazi do zamjene dvaju elemenata u permutaciji drugih indeksa pa se po teoremu 2.7 u svakom umnošku parnost permutacije promijeni.

D4.
Determinanta matrice s dva jednaka stupca je nula.

Svojstvo slijedi stoga što po svojstvu D3 zamjenom dvaju redaka determinanta mijenja predznak, a kako smo zamijenili iste retke determinanta se ne mijenja. Koji broj jedini ostaje isti kada promijeni predznak?

D5.
Determinanta je multilinearna funkcija svojih stupaca, odnosno

$\displaystyle %
\begin{vmatrix}\cdots& \beta\mathbf{b}+\gamma\mathbf{c} & \cdot...
...end{vmatrix}+
\gamma
\begin{vmatrix}\cdots& \mathbf{c} & \cdots
\end{vmatrix}.
$

Ovo svojstvo slijedi direktno iz formule (2.8). Posebno zaključujemo da za matricu $ A_1$ koja se dobije tako što se svi elementi nekog stupca matrice $ A$ pomnože brojem $ \alpha$ vrijedi

$\displaystyle %
\det(A_1)=\alpha \det(A).
$

Također, ako matrica $ A$ ima nul-stupac, tada je $ \det(A)=0$ .
D6.
Determinanta se ne mijenja ako jednom stupcu pribrojimo neki drugi stupac pomnožen nekim brojem.

Po svojstvu D5 vrijedi

\begin{displaymath}\begin{split}\begin{vmatrix}\cdots& \mathbf{a}+\beta\mathbf{b...
...mathbf{b} & \cdots&\mathbf{b}&\cdots \end{vmatrix}, \end{split}\end{displaymath}    

a po svojstvu D4 je druga determinanta na desnoj strani jednaka nula.

D7.
Za matrice $ A, B\in\mathcal{M}_n$ vrijedi

$\displaystyle %
\det(AB)=\det(A)\det(B).
$

Na primjer, za regularnu matricu $ A$

$\displaystyle %
\det(AA^{-1})=\det(A)\det(A^{-1})=\det(I)=1
$

povlači

$\displaystyle %
\det(A^{-1})=\frac{1}{\det(A)}.
$

D8.
Determinanta je različita od nule ako i samo ako su stupci matrice linearno nezavisni, odnosno ako je matrica regularna.

Ako je $ \mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (A)<n$ , tada je jedan od stupaca linearna kombinacija ostalih pa ga, koristeći operacije iz svojstva D6, možemo poništiti. Tada je $ \det(A)=0$ po svojstvu D5.

Obratno, ako je $ \det(A)=0$ , tada matrica $ A$ mora biti singularna, odnosno $ \mathop{\mathrm{rang}}\nolimits (A)<n$ , jer bi u protivnom $ \det(A)\det(A^{-1})=1$ povlačilo $ \det(A)\neq 0$ .

Napomena 2.3   Koristeći svojstva D3, D5 i D6 lako možemo pratiti kako se determinanta mijenja kada vršimo elementarne transformacije na matrici - determinanta ili promijeni predznak ili se uveća za neki faktor ili ostane ista. Nakon što Gaussovom eliminacijom dobijemo trokutasti oblik, determinantu lako izračunamo po svojstvu D1. Napose, ako koristimo samo matrice transformacije $ M_i$ opisane u poglavlju 2.4, čija je determinanta jednaka jedan, tada je determinanta polazne matrice jednaka determinanti trokutaste matrice.

Zadatak 2.10   Izračunajte

$\displaystyle %
\begin{vmatrix}
1&-2&1\\ 2&1&-2\\ -1&-1&0
\end{vmatrix}$

pomoću formule (2.9) i pomoću Gaussove eliminacije (vidi primjer 2.1).


Determinante     Determinante     Podmatrice i poddeterminante