×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Neodređeni integral     Funkcije više varijabla


Određeni integral

1.
Definirajte određeni (Riemannov) integral. [*]
2.
Objasnite osnovna svojstva određenog integrala: [*]
a)
ako je $ f(x)\geq 0$ za svaki $ x\in
[a,b]$ , tada

$\displaystyle \int\limits _a^b f(x)dx
$

daje površinu između $ f(x)$ i $ x$ -osi od $ a$ do $ b$ ,
b)
vrijedi

$\displaystyle \int\limits _a^a f(x)dx = 0,
$

c)
vrijedi

$\displaystyle \int\limits _a^b f(x)dx = - \int\limits _b^a f(x)dx ,
$

d)
vrijedi

$\displaystyle \int\limits _a^b f(x)dx = \int\limits _a^c f(x)dx +
\int\limits _c^b f(x)dx .
$

3.
Što je određeni, a što neodređeni integral? [*]
4.
Dokažite Newton-Leibnitzovu formulu. [*]
5.
Ako je funkcija $ f(x)$ integrabilna na intervalu $ [a,b]$ , tada je jedna primitivna funkcija dana s

$\displaystyle F(x)=\int\limits _a^x f(x)dx, \quad x\in [a,b], \quad F(a)=0.
$

Dokažite! [*]
6.
Dokažite teorem srednje vrijednosti za određeni integral: ako je $ f$ neprekidna na $ [a,b]$ , onda postoji $ c\in[a,b]$ za koji je [*]

$\displaystyle f(c)=\frac{1}{b-a}\int\limits _a^b f(x)dx
$

Koja je grafička interpretacija tog teorema? [*]
7.
Dokažite
a)
monotonost: [*]

$\displaystyle f(x) \leq g(x) \Rightarrow \int\limits _a^bf(x)dx\leq
\int\limits _a^b g(x)dx,
$

b)
nejednakost trokuta: [*]

$\displaystyle \vert\int\limits _a^b f(x)dx\vert\leq \int\limits _a^b \vert f(x)\vert dx.
$

8.
[*] Što je nepravi integral? Dokažite: [*]

$\displaystyle \int\limits _0^{\infty}e^{-x}$ $\displaystyle =1,$    
$\displaystyle \int\limits _1^{\infty} \frac{dx}{x^\alpha}$ $\displaystyle = \left\{ \begin{aligned}\displaystyle \frac{1}{\alpha - 1 },& \q...
... \text{divergira}, & \quad & \text{za $\alpha \leq 0$.} \end{aligned} \right.$    

9.
Opišite kriterije konvergencije za nepravi integral (majoranta, minoranta, apsolutna konvergencija). [*]

10.
Kako računamo površinu ravninskih likova? Izvedite element površine $ dP$ u Kartezijevim koordinatama, [*]

$\displaystyle dP=dx  dy,
$

i polarnim koordinatama, [*]

$\displaystyle dP=\frac{1}{2}r^2d\phi.
$

[*] Izvedite $ dP$ za parametarski zadane krivulje. Dajte primjere. [*] [*] [*] [*] [*] [*] [*]

11.
[*] Kako računamo duljinu luka ravninske krivulje? Izvedite $ ds$ u Kartezijevim koordinatama,

$\displaystyle ds= \sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{1+y^{\prime
2}}dx,
$

i polarnim koordinatama, [*]

$\displaystyle ds=\sqrt{r^{\prime 2}+r^2}d\phi.
$

[*] Izvedite $ ds$ za parametarski zadane krivulje. Dajte primjere. [*] [*] [*]

12.
Slično pitanje za obujam rotacionih tijela. [*]
13.
Slično pitanje za oplošje rotacionih ploha (komplanacija). [*]
14.
Objasnite postupak numeričkog integriranja [*] ( [*] trapezna formula, [*] Simpsonova formula, [*] Richardsonova ekstrapolacija)?


Neodređeni integral     Funkcije više varijabla