Određeni integral

Definirajte određeni (Riemannov) integral.

Objasnite osnovna svojstva određenog integrala:

a)

ako je $f(x)\geq 0$ za svaki $x\in [a,b]$ , tada

$\displaystyle \int\limits _a^b f(x)dx$

daje površinu između

-osi od

b)

vrijedi

$\displaystyle \int\limits _a^a f(x)dx = 0,$

c)

vrijedi

$\displaystyle \int\limits _a^b f(x)dx = - \int\limits _b^a f(x)dx ,$

d)

vrijedi

$\displaystyle \int\limits _a^b f(x)dx = \int\limits _a^c f(x)dx + \int\limits _c^b f(x)dx .$

Što je određeni, a što neodređeni integral?

Dokažite Newton-Leibnitzovu formulu.

Ako je funkcija

integrabilna na intervalu

, tada je jedna primitivna funkcija dana s

$\displaystyle F(x)=\int\limits _a^x f(x)dx, \quad x\in [a,b], \quad F(a)=0.$

Dokažite!

Dokažite teorem srednje vrijednosti za određeni integral: ako je

neprekidna na

, onda postoji $c\in[a,b]$ za koji je

$\displaystyle f(c)=\frac{1}{b-a}\int\limits _a^b f(x)dx$

Koja je grafička interpretacija tog teorema?

Dokažite

a)

monotonost:

$\displaystyle f(x) \leq g(x) \Rightarrow \int\limits _a^bf(x)dx\leq \int\limits _a^b g(x)dx,$

b)

nejednakost trokuta:

$\displaystyle \vert\int\limits _a^b f(x)dx\vert\leq \int\limits _a^b \vert f(x)\vert dx.$

Što je nepravi integral? Dokažite:

$\displaystyle \int\limits _0^{\infty}e^{-x}$	$\displaystyle =1,$
$\displaystyle \int\limits _1^{\infty} \frac{dx}{x^\alpha}$	$\displaystyle = \left\{ \begin{aligned}\displaystyle \frac{1}{\alpha - 1 },& \q... ... \text{divergira}, & \quad & \text{za $\alpha \leq 0$.} \end{aligned} \right.$