NEODREĐENI INTEGRAL

Ovo poglavlje bavi se nalaženjem neodređenih integrala (kraće: integrala), odnosno anti-derivacija. Prije formalne definicije neodređenog integrala, neformalno ćemo opisati osnovnu ideju. Anti-derivacija zadane funkcije je funkcija čija je derivacija jednaka zadanoj funkciji. Na primjer, kako je $(\sin x)'=\cos x$ , to je anti-derivacija funkcije $\cos x$ jednaka $\sin x$ . Međutim, kako je derivacija konstante jednaka nuli, to je i funkcija $\sin x + C$ također anti-derivacija funkcije $\cos x$ za svaku konstantu . Integral zadane funkcije je skup svih njenih anti-derivacija, što zapisujemo kao

$\displaystyle \int \cos x dx=\sin x+C.$

Zaključujemo da neke integrale možemo dobiti čitajući tablicu elementarnih derivacija (vidi^1.1

M1, poglavlje 5.1.5) zdesna na lijevo. Tako je, na primjer,

$\displaystyle \int \frac{1}{\cos^2 x} dx= \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x+ C.$

Međutim, integriranje je složeniji postupak od deriviranja. Također, integral elementarne funkcije nije uvijek elementarna funkcija. Naime, dok je svaku elementarnu funkciju lako derivirati jednostavnom primjenom pravila deriviranja, pri čemu je derivacija opet elementarna funkcija, kod integriranja to nije slučaj. Tako je, na primjer, $\int e^x dx=e^x +C$ , dok recimo $\int e^{x^{2}} dx$ nije elementarna funkcija, odnosno ne može se prikazati primjenjujući konačan broj puta zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje i komponiranje osnovnih elementarnih funkcija (vidi M1, poglavlje 4.6.7). Integral ove funkcije može se prikazati pomoću reda funkcija (poglavlje 1.8).

U ovom poglavlju dat ćemo definiciju i osnovna svojstva integrala, opisati osnovne metode integriranja te postupke integriranja za nekoliko tipova funkcija (racionalne funkcije, racionalne funkcije trigonometrijskih funkcija i neke iracionalne funkcije). Opisat ćemo i postupak integriranja reda funkcija.

Poglavlja

Slike MATEMATIKA 2 - PREDAVANJA Definicija i osnovna svojstva