×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Populacijska i logistička jednadžba     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Polje smjerova


Jednadžbe sa separiranim varijablama

Diferencijalna jednadžba prvog reda je separabilna (kažemo i da se radi o jednadžbi sa separiranim varijablama) ako je možemo zapisati u obliku.

$\displaystyle f(x)  dx=g(y)  dy.
$

Onda je

$\displaystyle \int g(y)  dy=\int g(y(x))  \frac{dy}{dx}  dx
=\int g(y(x)) \frac{f(x)}{g(y(x))}   dx
=\int f(x)  dx.
$

U literaturi se često navodi i oblik:

$\displaystyle P(x)  dx+Q(y)  dy=0.
$

Sve jednadžbe prvog reda koje smo rješavali u prethodnim poglavljima su separabilne. Navedimo još nekoliko primjera.

Primjer 5.7   Za jednadžbu

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{x^2}{2y+\sin y}
$

vrijedi

$\displaystyle (2y + \sin y)  dy= x^2  dx
$

pa je implicitno rješenje jednadžbe dano s

$\displaystyle y^2 -\cos y = \frac{x^3}{3} + C.
$

Ako je još zadan i početni uvjet $ y(1)=\pi$ , onda je

$\displaystyle C=\pi^2 +\frac{2}{3}.
$

Primjer 5.8   Newtonov zakon hlađenja kaže da je promjena temperature objekta proporcionalna razlici temperature objekta $ T$ i temperature okoline (ambijenta) $ T_{\mathrm{amb}}$ . Ovaj zakon je dobra aproksimacija procesa hlađenja u standardnim uvjetima. Matematička formulacija glasi

$\displaystyle \frac{dT}{dt}=-k(T-T_{\mathrm{amb}}), \qquad k> 0,
$

gdje je $ k$ koeficijent hlađenja (koji ovisi, na primjer, o izolacijskim svojstvima posude). Rješenje problema hlađenja je:

  $\displaystyle \frac{dT}{T-T_{\mathrm{amb}}}=-k  dt,$    
  $\displaystyle \ln\vert T-T_{\mathrm{amb}}\vert=-kt+C,$    
  $\displaystyle \vert T-T_{\mathrm{amb}}\vert=e^{-kt}e^C,$    
  $\displaystyle T-T_{\mathrm{amb}}=A  e^{-kt}.$    

Ako je zadana početna temperatura $ T(0)=T_0$ , onda je $ T_0=T(0)=T_{\mathrm{amb}}+A$ pa je konačno

$\displaystyle T(t)=e^{-kt}(T_0-T_{\mathrm{amb}})+T_{\mathrm{amb}}.
$

Zadatak 5.2  
a)
U jednu veliku šalicu kave temperature $ 90^\circ \mathrm{C}$ ulijemo mlijeko sobne temperature od $ 22^\circ \mathrm{C}$ odmah, a u drugu nakon 5 minuta. Koja će kava biti toplija nakon 8 minuta? Što se događa ako ulijemo mlijeko iz frižidera temperature $ 4^\circ \mathrm{C}$ ? Napomena: ako je količina kave $ k$ i temperatura kave $ T_k$ te ako je količina mlijeka $ m$ i temperatura mlijeka $ T_m$ , onda je temperatura smjese $ T_s$ jednaka

$\displaystyle T_s =\frac{k T_k+m T_m}{k+m}.
$

b)
U hotelskoj sobi temperature $ 20^\circ \mathrm{C}$ policija je u ponoć otkrila tijelo žrtve. Temperatura tijela bila je $ 26^\circ \mathrm{C}$ . Dva sata kasnije temperatura tijela bila je $ 24^\circ \mathrm{C}$ . Kada se otprilike dogodio zločin?

Funkcija $ f(x,y)$ je homogena stupnja homogenosti $ k$ ako je

$\displaystyle f(\lambda x,\lambda y) = \lambda^k f(x,y).
$

Diferencijalna jednadžba oblika

$\displaystyle P(x,y)  dx+Q(x,y)  dy=0
$

homogena je ako su $ P$ i $ Q$ homogene funkcije istog stupnja. Zamjenom varijabli $ z=y/x$ homogena jednadžba prelazi u jednadžbu sa separiranim varijablama.

Primjer 5.9   Riješimo diferencijalnu jednadžbu

$\displaystyle y'=\frac{xy}{x^2-y^2}.
$

Kako je

$\displaystyle \frac{(\lambda x)(\lambda y)}{(\lambda x)^2-(\lambda y)^2}=\frac{\lambda^2
xy}{\lambda^2(x^2-y^2)}= \frac{xy}{x^2-y^2},
$

zadana jednadžba je homogena. Uvrštavanje

$\displaystyle y=zx,\qquad y'=z'x+z
$

uz $ x\neq 0$ daje

$\displaystyle z'x+z=\frac{x^2 z}{x^2-x^2z^2}=\frac{z}{1-z^2}.
$

Sada imamo

  $\displaystyle \frac{1-z^2}{z^3}  dz= \frac{1}{x}  dx,$    
  $\displaystyle -\frac{1}{2z^2}-\ln z = \ln x + \ln C,$    

gdje smo radi jednostavnosti pretpostavili da je $ x,z,C>0$ . Sada je

  $\displaystyle -\frac{1}{2z^2}=\ln(z x C),$    
  $\displaystyle z x C=e^{-1/(2z^2)},$    
  $\displaystyle \frac{y}{x}  x  C = e^{-x^2/(2y^2)},$    

i, konačno,

$\displaystyle y=\frac{1}{C}  e^{-x^2/(2y^2)}.
$

Zadatak 5.3   Riješite diferencijalne jednadžbe:
a)
$ \left(y'-\displaystyle \frac{y}{x}\right)\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \displaystyle \frac{y}{x}=0$ uz $ y(1)=1$ ,
b)
$ (3x-7y)  dx=(-7x+3y)  dy$ ,
c)
$ y'= \displaystyle \frac{x \sqrt{1+x^2}}{y e^y}$ .

Zadatak 5.4   Nađite jednadžbu krivulje koja prolazi točkom $ (1,1)$ , a ima svojstvo da joj je nagib u točki $ (x,y)$ jednak $ y^2/x^3$ .


Populacijska i logistička jednadžba     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Polje smjerova