×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  mat2
Nepravi integral     ODREĐENI INTEGRAL     Duljina luka ravninske krivulje


Površina ravninskog lika

Izračunajte površinu lika omeđenog krivuljama:

a)
$ \displaystyle y=x^{2},x=-1,x=2$ i osi $ x$ ,

b)
$ \displaystyle x^{2}+y^{2}=2$ i $ y=x^{2}$ unutar parabole,

c)
\begin{displaymath}\displaystyle\left\{
\begin{array}{c}
x=a\cos ^{3}t \\
y=a\sin ^{3}t
\end{array}\right. ,t\in \left[ 0,2\pi \right] \end{displaymath} , (astroida),

d)
$ \displaystyle r^{2}=a^{2}\cos \left( 2\varphi \right)
,\varphi \in \left[ 0,2\pi \right] $ , (Bernoullijeva lemniskata).

Rješenje.

a)
Prema slici 2.1 vrijedi

$\displaystyle P=\int\limits_{-1}^{2}x^{2} dx=\frac{x^{3}}{3}\bigg\vert_{-1}^{2}=\frac{8}{3}+
\frac{1}{3}=3.
$

Slika: Površina ravninskog lika a)
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=parabola.eps, width=9.6cm}\end{center}\end{figure}

b)
Sjecišta krivulja $ x^{2}+y^{2}=2$ i $ y^{2}=x^{2}$ su točke $ A\left( 1,1\right) $ i $ B\left( -1,1\right) $ (vidi sliku 2.2), pa vrijedi

$\displaystyle P=\int\limits_{-1}^{1}\left( \sqrt{2-x^{2}}-x^{2}\right)  dx=\int\limits_{-1}^{1}\sqrt{2-x^{2}} dx-\int\limits_{-1}^{1}x^{2} dx.$    

Prvi se integral rješava parcijalnom integracijom [*][M2, teorem 1.7], pa je

$\displaystyle P$ $\displaystyle =\frac{1}{2}\left( x\sqrt{2-x^{2}}+2\arcsin \frac{x}{\sqrt{2}}\right) \bigg\vert_{-1}^{1}-\frac{x^{3}}{3}\bigg\vert_{-1}^{1}$    
  $\displaystyle =\frac{1}{2}\left( 1+2\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}}\right) -\frac{1}...
...2}}\right) -\left( \frac{1}{3}+\frac{1}{3} \right) =\frac{1}{3}+\frac{\pi }{2}.$    

Slika: Površina ravninskog lika b)
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=kruzpar.eps, width=9.6cm}\end{center}\end{figure}

c)
Na slici 2.3 vidimo da se cijela površina $ P$ može računati kao $ 4P_{1}$ . Za računanje $ P_{1}$ korist ćemo formulu za površinu ravninskih likova, gdje je krivulja zadana parametarski [*][M2, 2.6.1.1]:

$\displaystyle P_{1}$ $\displaystyle =\int\limits_{\pi /2}^{0}a\sin ^{3}t\cdot 3a\cos ^{2}t\left( -\sin t\right)  dt$    
  $\displaystyle =-3a^{2}\int\limits_{\pi /2}^{0}\sin ^{4}t\cos ^{2}t dt=3a^{2}\i...
...c{1}{2}\sin \left( 2t\right) \right) ^{2}\frac{1-\cos \left( 2t\right) }{2} dt$    
  $\displaystyle =\frac{3}{8}a^{2}\int\limits_{0}^{\pi /2}\left[ \sin ^{2}\left( 2t\right) -\sin ^{2}\left( 2t\right) \cos \left( 2t\right) \right]  dt$    
  $\displaystyle =\frac{3}{16}a^{2}\int\limits_{0}^{\pi /2}\left[ 1-\cos \left( 4t...
...i /2}\sin ^{2}\left( 2t\right) \frac{1}{2}d\left( \sin \left( 2t\right) \right)$    
  $\displaystyle =\frac{3}{16}a^{2}t\bigg\vert_{0}^{\pi /2}-\frac{3}{4\cdot 16}a^{...
...2}-\frac{3}{16}a^{2}\frac{\sin ^{2}\left( 2t\right) }{3}\bigg\vert_{0}^{\pi /2}$    
  $\displaystyle =\frac{3}{16}a^{2}\frac{\pi }{2}=\frac{3a^{2}\pi }{32},$    

pa je

$\displaystyle P=4P_{1}=4\frac{3a^{2}\pi }{32}=\frac{3a^{2}\pi }{8}.$    

Slika 2.3: Astroida
\begin{figure}\begin{center}
\epsfig{file=astroida1.eps, width=9.6cm}\end{center}\end{figure}

d)
Na slici 2.4 vidimo da se cijela površina $ P$ može izračunati kao $ 4P_{1}$ , pri čemu koristimo formulu za površinu ravninskih likova kada je krivulja zadana u polarnim koordinatama [*][M2, poglavlje 2.6.1.2]. Vrijedi

$\displaystyle P_{1}$ $\displaystyle =\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\pi /4}r^{2}d\varphi =\frac{1}{2} \i...
... d\varphi =\frac{ a^{2}}{2}\sin \left( 2\varphi \right) \bigg\vert_{0}^{\pi /4}$    
  $\displaystyle =\frac{a^{2}}{2}\frac{-\cos \left( 2\varphi \right) }{2}\bigg\ver...
.../4}=\frac{a^{2}}{4}\left( -\cos \frac{\pi }{2}-\cos 0\right) = \frac{a^{2}}{4},$    

pa je

$\displaystyle P=4P_{1}=4\frac{a^{2}}{4}=a^{2}.$    

Slika 2.4: Bernoullijeva lemniskata
\begin{figure}
% latex2html id marker 4387
\begin{center}
\epsfig{file=lemniskata1.eps, width=9.6cm}\end{center}\end{figure}


Nepravi integral     ODREĐENI INTEGRAL     Duljina luka ravninske krivulje