×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Nepravi integral     ODREĐENI INTEGRAL     Duljina luka ravninske krivulje

Površina ravninskog lika

Izračunajte površinu lika omeđenog krivuljama:

a)

$$y=x^{2},x=-1,x=2$$ i osi $x$ ,

b)

$$x^{2}+y^{2}=2$$ i $y=x^{2}$ unutar parabole,

c)

$$\displaystyle\left\{ \begin{array}{c} x=a\cos ^{3}t \\ y=a\sin ^{3}t \end{array}\right. ,t\in \left[ 0,2\pi \right]$$ , (astroida),

d)

$$r^{2}=a^{2}\cos \left( 2\varphi \right) ,\varphi \in \left[ 0,2\pi \right]$$ , (Bernoullijeva lemniskata).

Rješenje.

a)

Prema slici 2.1 vrijedi

$$P=\int\limits_{-1}^{2}x^{2} dx=\frac{x^{3}}{3}\bigg\vert_{-1}^{2}=\frac{8}{3}+ \frac{1}{3}=3.$$

Slika: Površina ravninskog lika a)

b)

Sjecišta krivulja $x^{2}+y^{2}=2$ i $y^{2}=x^{2}$ su točke $A\left( 1,1\right)$ i $B\left( -1,1\right)$ (vidi sliku 2.2), pa vrijedi

$$P=\int\limits_{-1}^{1}\left( \sqrt{2-x^{2}}-x^{2}\right) dx=\int\limits_{-1}^{1}\sqrt{2-x^{2}} dx-\int\limits_{-1}^{1}x^{2} dx.$$

Prvi se integral rješava parcijalnom integracijom [M2, teorem 1.7], pa je

$$P =\frac{1}{2}\left( x\sqrt{2-x^{2}}+2\arcsin \frac{x}{\sqrt{2}}\right) \bigg\vert_{-1}^{1}-\frac{x^{3}}{3}\bigg\vert_{-1}^{1}$$

$$=\frac{1}{2}\left( 1+2\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}}\right) -\frac{1}... ...2}}\right) -\left( \frac{1}{3}+\frac{1}{3} \right) =\frac{1}{3}+\frac{\pi }{2}.$$

Slika: Površina ravninskog lika b)

c)

Na slici 2.3 vidimo da se cijela površina $P$ može računati kao $4P_{1}$ . Za računanje $P_{1}$ korist ćemo formulu za površinu ravninskih likova, gdje je krivulja zadana parametarski [M2, �2.6.1.1]:

$$P_{1} =\int\limits_{\pi /2}^{0}a\sin ^{3}t\cdot 3a\cos ^{2}t\left( -\sin t\right) dt$$

$$=-3a^{2}\int\limits_{\pi /2}^{0}\sin ^{4}t\cos ^{2}t dt=3a^{2}\i... ...c{1}{2}\sin \left( 2t\right) \right) ^{2}\frac{1-\cos \left( 2t\right) }{2} dt$$

$$=\frac{3}{8}a^{2}\int\limits_{0}^{\pi /2}\left[ \sin ^{2}\left( 2t\right) -\sin ^{2}\left( 2t\right) \cos \left( 2t\right) \right] dt$$

$$=\frac{3}{16}a^{2}\int\limits_{0}^{\pi /2}\left[ 1-\cos \left( 4t... ...i /2}\sin ^{2}\left( 2t\right) \frac{1}{2}d\left( \sin \left( 2t\right) \right)$$

$$=\frac{3}{16}a^{2}t\bigg\vert_{0}^{\pi /2}-\frac{3}{4\cdot 16}a^{... ...2}-\frac{3}{16}a^{2}\frac{\sin ^{2}\left( 2t\right) }{3}\bigg\vert_{0}^{\pi /2}$$

$$=\frac{3}{16}a^{2}\frac{\pi }{2}=\frac{3a^{2}\pi }{32},$$

pa je

$$P=4P_{1}=4\frac{3a^{2}\pi }{32}=\frac{3a^{2}\pi }{8}.$$

Slika 2.3: Astroida

d)

Na slici 2.4 vidimo da se cijela površina $P$ može izračunati kao $4P_{1}$ , pri čemu koristimo formulu za površinu ravninskih likova kada je krivulja zadana u polarnim koordinatama [M2, poglavlje 2.6.1.2]. Vrijedi

$$P_{1} =\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{\pi /4}r^{2}d\varphi =\frac{1}{2} \i... ... d\varphi =\frac{ a^{2}}{2}\sin \left( 2\varphi \right) \bigg\vert_{0}^{\pi /4}$$

$$=\frac{a^{2}}{2}\frac{-\cos \left( 2\varphi \right) }{2}\bigg\ver... .../4}=\frac{a^{2}}{4}\left( -\cos \frac{\pi }{2}-\cos 0\right) = \frac{a^{2}}{4},$$

pa je

$$P=4P_{1}=4\frac{a^{2}}{4}=a^{2}.$$

Slika 2.4: Bernoullijeva lemniskata

Nepravi integral     ODREĐENI INTEGRAL     Duljina luka ravninske krivulje