Volumen rotacijskog tijela

Izračunajte volumen tijela koje nastaje rotacijom lika omeđenog parabolom: $\displaystyle y=x^{2}$ , osi

i pravcem

oko osi

Izračunajte volumen tijela koje nastaje rotacijom astroide $\begin{displaymath} \displaystyle\left\{ \begin{array}{c} x=a\cos ^{3}t \\ y=a\sin ^{3}t \end{array}\right. \end{displaymath}$ oko osi

Rješenje.

Koristeći formulu za volumen rotacijskog tijela koje nastaje rotacijom krivulje

[M2, poglavlje 2.6.3], za krivulju $\displaystyle x=\sqrt{y}$ u granicama od 0 do

koja rotira oko oko osi

, vidi sliku 2.6, dobivamo

$\displaystyle V=\pi \int\limits_{0}^{1}\left( \sqrt{y}\right) ^{2}dy=\pi \frac{y^{2}}{2} \bigg\vert_{0}^{1}=\frac{\pi }{2}.$

**Slika 2.6:** Rotacija parabole $y=x^{2}$
$\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=volumen1.eps, width=9.6cm}\end{center}\end{figure}$

Koristeći formulu za volumen rotacijskog tijela koje nastaje rotacijom krivulje zadane parametarski

[M2, poglavlje 2.6.3], za krivulju $\begin{displaymath} \displaystyle\left\{ \begin{array}{c} x=a\cos ^{3}t \\ y=a\sin ^{3}t \end{array}\right. \end{displaymath}$ (astroida), oko osi

, i koristeći simetriju astroide dobivamo

$\displaystyle V$	$\displaystyle =2\pi \int\limits_{0}^{\pi /2}a^{2}\cos ^{6}t\cdot 3a\sin ^{2}t\c... ...$ & $0$ & $\frac{\pi}{2}$ \hline $u$ & $0$ & $1$ \end{tabular} \right\}$
	$\displaystyle =6\pi a^{3}\int\limits_{0}^{1}\left( 1-t^{2}\right) ^{3}t^{2} dt=6\pi a^{3}\int\limits_{0}^{1}\left( t^{2}-3t^{4}+3t^{6}-t^{8}\right) dt$
	$\displaystyle =6\pi a^{3}\int\limits_{0}^{1}\left( t^{2}-3t^{4}+3t^{6}-t^{8}\ri... ...}-\frac{3t^{5}}{5}+\frac{3t^{7}}{7}-\frac{ t^{9}}{9}\right) \bigg\vert_{0}^{1}=$
	$\displaystyle =6\pi a^{3}\left( \frac{1}{3}-\frac{3}{5}+\frac{3}{7}-\frac{1}{9}\right) =6\pi a^{3}\frac{16}{315}=\frac{32\pi a^{3}}{105}.$

Duljina luka ravninske krivulje

ODREĐENI INTEGRAL

Oplošje rotacijskog tijela