×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  mat2
NEODREĐENI INTEGRAL     NEODREĐENI INTEGRAL     Tablica osnovnih integrala


Definicija i osnovna svojstva

Neka je zadana funkcija $ f:D\to \mathbb{R}$ . Želimo naći funkciju $ F$ koja derivirana daje $ f$ , odnosno želimo riješiti jednadžbu

$\displaystyle F'(x)=f(x),
$

za one $ x$ za koje rješenje postoji.

Za sljedeću definiciju potrebno je ponoviti neke definicije. Neka je $ a,b\in \mathbb{R}$ , $ a<b$ . Interval $ I$ je svaki od skupova

  $\displaystyle [a,b],\quad (a,b),\quad (a,b],\quad [a,b),\quad [a,+\infty),$    
  $\displaystyle (a,+\infty),\quad (-\infty,b),\quad (-\infty,b],\quad (-\infty,+\infty)\equiv \mathbb{R}.$    

Nadalje, skup je prebrojiv ako je ekvipotentan sa skupom prirodnih brojeva $ \mathbb{N}$ (vidi [*]M1, definicija 1.15).

Definicija 1.1   Neka je zadana funkcija $ f:D\to \mathbb{R}$ , neka je $ I\subseteq D$ interval i neka je $ A\subseteq I$ konačan ili prebrojiv (kraće: diskretan) podskup. Primitivna funkcija funkcije $ f$ na intervalu $ I$ je svaka neprekidna funkcija $ F:I\to \mathbb{R}$ takva da je $ F'(x)=f(x)$ za $ \forall x\in I\setminus A$ .1.2

Ova definicija i činjenica da je derivacija konstantne funkcije jednaka nuli povlače sljedeći teorem.

Teorem 1.1   Ako je $ F(x)$ primitivna funkcija funkcije $ f(x)$ na intervalu $ I$ , onda je i $ F(x)+C$ primitivna funkcija funkcije $ f(x)$ na intervalu $ I$ za svaku konstantu $ C\in\mathbb{R}$ .

Primjer 1.1  
a)
Zadana je funkcija $ f(x)=2x$ , $ f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ . Funkcije

$\displaystyle F_1(x)$ $\displaystyle =x^2,\qquad F_1:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^0_+\quad i$    
$\displaystyle F_2(x)$ $\displaystyle =x^2-\frac{1}{3},\qquad F_2(x):\mathbb{R}\to [-\frac{1}{3}, +\infty)$    

su primitivne funkcije od $ f$ na $ \mathbb{R}$ (vidi sliku 1.1a).

b)
Prema definiciji 1.1, $ F_1$ i $ F_2$ su i primitivne funkcije od

$\displaystyle g(x)=\begin{cases}2x,& \text{za $x\neq 1$,}\\
0,& \text{za $x=1$,}
\end{cases}$

jer možemo uzeti $ I=\mathbb{R}$ i $ A=\{-1\}$ , odnosno skup $ A$ je u ovom slučaju konačan (vidi sliku 1.1b).

c)
$ F_1$ i $ F_2$ su također primitivne funkcije funkcije

$\displaystyle h(x)=\begin{cases}2x,& \text{za $x\notin \mathbb{N}$,} 0,& \text{za $x\in \mathbb{N}$,} \end{cases}$    

jer možemo uzeti $ I=\mathbb{R}$ i $ A=\mathbb{N}$ , pri čemu je skup $ A$ prebrojiv.
d)
Neka je

$\displaystyle f(x)=\begin{cases}2x,& \text{za $-2<x<2$,} x,& \text{za $2\leq x$.} \end{cases}$    

Primitivna funkcija funkcije $ f$ je

$\displaystyle F(x)=\begin{cases}x^2-2,& \text{za $-2<x<2$,} \frac{x^2}{2},& \text{za $2\leq x$.} \end{cases}$    

Konstantu $ -2$ u izrazu $ x^2-2$ izabrali smo tako da se ispuni uvjet neprekidnosti funkcije $ F$ na intervalu $ I=(-2,+\infty)$ prema definiciji 1.1. Naravno, i funkcija $ F(x)+C$ je primitivna funkcija funkcije $ f$ za svaku konstantu $ C$ . Nacrtajte funkcije $ f$ i $ F$ .

Slika 1.1: Primitivna funkcija
\begin{figure}\begin{center}\begin{tabular}{cc}
\epsfig{file=slike/i1.eps, widt...
...th=5.5cm]{slike/i2.png} \\
a) & b)
\end{tabular}
\end{center}\end{figure}

Nakon što smo usvojili pojam primitivne funkcije možemo definirati neodređeni integral, no prije toga dokazat ćemo sljedeći teorem.

Teorem 1.2   Ako su $ F$ i $ G$ dvije primitivne funkcije funkcije $ f$ na intervalu $ I$ , onda postoji konstanta $ C$ takva da je $ G(x)=F(x)+C$ .

Dokaz.
Dokažimo teorem za najjednostavniji slučaj kada je $ A=\emptyset$ , odnosno kada se radi o striktno primitivnim funkcijama. Pretpostavke teorema povlače

$\displaystyle G'(x)=F'(x)=f(x),\qquad \forall x\in I,
$

pa je $ (G-F)'(x)=0$ , odnosno $ (G-F)(x)=C$ za neku konstantu $ C$ i za svaki $ x\in I$ .
Q.E.D.

Definicija 1.2   Neodređeni integral funkcije $ f$ na intervalu $ I$ je skup svih primitivnih funkcija funkcije $ f$ na intervalu $ I$ . Koristimo oznaku

$\displaystyle \int f(x)   dx= F(x) + C, \qquad C\in \mathbb{R},
$

pri čemu je $ F$ neka primitivna funkcija funkcije $ f$ na intervalu $ I$ , $ x$ je varijabla integracije, a $ f$ je podintegralna funkcija ili integrand, a $ C$ je konstanta integracije.

Napomenimo da gornju jednakost interpretiramo kao jednakost među funkcijama, odnosno $ F(x)$ označava funkciju $ F$ , a ne njezinu vrijednost u točki $ x$ .

Primjer 1.2   Vrijedi

$\displaystyle \int   dx$ $\displaystyle = x+ C,$    
$\displaystyle \int x^4   dx$ $\displaystyle = \frac{x^5}{5} + C,$    
$\displaystyle \int e^x   dx$ $\displaystyle = e^x + C.$    

Napomena 1.1   Dva uvjeta iz definicije 1.1 zaslužuju dodatno objašnjenje. Uvjet da formula $ F'(x)=f(x)$ vrijedi na skupu $ I\setminus A$ , a ne na čitavom skupu $ I$ , što je slabiji uvjet od onoga što bismo očekivali, proizlazi iz geometrijskog značenja određenog integrala (poglavlje 2). Naime, određeni integral u principu daje površinu između podintegralne funkcije i $ x$ -osi, a kako površina ne ovisi o vrijednosti funkcije u prebrojivo točaka, to se i u definiciji neodređenog integrala uzima slabiji uvjet. Drugi uvjet je da se traži neprekidnost funkcije $ F$ na čitavom intervalu $ I$ i onda kada funkcija $ f$ taj uvjet ne ispunjava. Ovaj uvjet proistječe iz fizikalne interpretacije integrala. Naime, brzina je derivacija puta po vremenu (vidi [*]M1, poglavlje 5.1) pa je stoga put integral brzine. No, dok funkcija kojom je zadana brzina može (u idealnim uvjetima) imati prekide, prijeđeni put je uvijek neprekidan. Stoga je i uvjet neprekidnosti primitivne funkcije prirodan.

Slijedeća dva teorema daju nam osnovna svojstva integrala. Prisjetimo se definicije diferencijala funkcije $ f$ (vidi [*]M1, poglavlje 5.2):

$\displaystyle df(x)=f'(x)  dx.
$

Prvi teorem navodimo bez dokaza.

Teorem 1.3   Neka je $ I$ interval i $ A$ njegov diskretan podskup. Neka je $ \int f(x)   dx= F(x) + C$ , odnosno $ F'(x)=f(x)$ za svaki $ x\in I\setminus A$ i neka je funkcija $ F$ neprekidna na intervalu $ I$ . Tada za svaki $ x\in I\setminus A$ vrijedi:
(i)
$ (\int f(x)  dx)'=f(x)$ , odnosno derivacija integrala jednaka je podintegralnoj funkciji. Ovu jednakost također interpretiramo kao jednakost među funkcijama koja vrijedi na skupu $ I\setminus A$ .
(ii)
$ d  (\int f(x)  dx)=f(x)  dx$ , odnosno diferenciranje poništava integriranje.
(iii)
$ \int dF(x)=F(x)+C$ , odnosno integriranje poništava diferenciranje do na konstantu.

Teorem 1.4   Neodređeni integral je linearan, odnosno

$\displaystyle \int (\alpha_1 f_1(x)+\cdots +\alpha_n f_n(x))  dx=
\alpha_1 \int f_1(x)  dx+\cdots +
\alpha_n \int f_n(x)  dx+C.
$

Dokaz.
Neka je $ F_i:I\to \mathbb{R}$ primitivna funkcija funkcije $ f_i$ za $ i=1,\ldots,n$ . To znači da je $ (F_i(x))'=f_i(x)$ za svaki $ x\in I\setminus A_i$ , pri čemu je $ A_i$ diskretan podskup od $ I$ , odnosno $ \int f_i(x)  dx=F_i(x)+C_i$ . Dakle, jednakost

$\displaystyle \big(\alpha_1F_1(x)+\cdots +\alpha_nF_n(x)\big)'=
\alpha_1f_1(x)+\cdots +\alpha_nf_n(x)
$

vrijedi za svaki $ x\in I\setminus \bigcup_{i=i}^n A_i$ . Kako je skup $ \bigcup_{i=i}^n A_i$ također diskretan, zaključujemo da je funkcija $ \alpha_1F_1(x)+\cdots +\alpha_nF_n(x)$ jedna primitivna funkcija funkcije $ \alpha_1f_1(x)+\cdots +\alpha_nf_n(x)$ . Stoga vrijedi

$\displaystyle \int (\alpha_1 f_1(x)+\cdots +\alpha_nf_n(x))  dx$ $\displaystyle = \alpha_1F_1(x)+\cdots +\alpha_nF_n(x)+K$    
  $\displaystyle =\alpha_1(\int f_1(x)  dx-C_1)+\cdots$    
  $\displaystyle \quad + \alpha_n(\int f_n(x)  dx-C_n) +K$    
  $\displaystyle = \alpha_1 \int f_1(x)  dx+\cdots + \alpha_n \int f_n(x)  dx+C,$    

gdje je $ C=K-\alpha_1C_1-\cdots -\alpha_n C_n$ .     
Q.E.D.


Poglavlja


NEODREĐENI INTEGRAL     NEODREĐENI INTEGRAL     Tablica osnovnih integrala