×   HOME JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
  matematika2
Neprekidnost     FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     Eliptički paraboloid


Plohe drugog reda

Ploha drugog reda je skup svih točaka trodimenzionalnog prostora koje zadovoljavaju jednadžbu drugog stupnja (ili reda):

$\displaystyle Ax^2 +By^2+Cz^2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+K=0,$    

pri čemu je barem jedan od koeficijenata3.2 $ A,B,C,D,E  \textrm{i}  F$ različit od nule, odnosno u formuli postoji barem jedan netrivijalni nelinerani član. Na primjer, jednadžba sfere (kugline plohe) polumjera $ r$ sa središtem u točki $ (x_0,y_0,z_0)$ dana je s:

$\displaystyle (x-x_0)^2 +(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2.$    

Ovom formulom su zadane dvije funkcije dvije varijable:

\begin{displaymath}\begin{split}& z=f_1(x,y)=z_0+\sqrt{r^2-(x-x_0)^2-(y-y_0)^2} ...
... & z=f_2(x,y)=z_0-\sqrt{r^2-(x-x_0)^2-(y-y_0)^2}. \end{split}\end{displaymath}    

Nivo-krivulje (konture) sfere (presjeci s ravninama paralelnim s $ xy$ -ravninom) i presjeci s ravninama paralelnim s $ xz$ - i $ yz$ -ravninama su kružnice.3.3

Nadalje,

$\displaystyle \frac{(x-x_0)^2}{a^2}+ \frac{(y-y_0)^2}{b^2}+\frac{(z-z_0)^2}{c^2}=1$    

je jednadžba elipsoida čije su glavne osi paralne s koordinatnim osima $ x, y  \textrm{i}  z$ , a duljine poluosi su $ a,b  \textrm{i}  c$ redom. Na slikci 3.12 prikazan je elipsoid $ x^2/36+y^2/16+z^2/4=1$ .

Slika 3.12: Elipsoid
Image elipsoid

Nivo-krivulje elipsoida kao i presjeci s ravninama paralelnim s $ xz$ - i $ yz$ -ravninama su elipse.

Zadatak 3.2   Za elipsoid iz slike 3.12 nacrtajte nivo-krivulju za $ z=-1$ i presjek s ravninama $ x=4$ i $ x=7$ .

Elipsoid na slici možemo definirati i parametarski kao skup točaka:

$\displaystyle E$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \{(x,y,z): x=6 \cos t \cos u, y=4 \sin t \cos u, z=2\sin u,$  
    $\displaystyle t\in \{0,2\pi \}, u\in \{-\pi /2, \pi/2\} \}.$  

Elipsoid na slici 3.12 nacrtan je upravo koristeći parametarski prikaz.


Poglavlja


Neprekidnost     FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     Eliptički paraboloid