×   HOME
SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS
SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA
SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA
JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
☰   matematika2
Supstitucija i parcijalna integracija     ODREĐENI INTEGRAL     Nepravi integral


Teoremi o određenom integralu

U ovom poglavlju dokazat ćemo još neka svojstva određenog integrala. Sljedeći teorem je analogija Cauchyjevog i Lagrangeovog teorem srednje vrijednosti (vidi [*]M1, poglavlje 5.5.2) za određeni integral, a dokazuje se pomoću Cauchyjevog teorema.

Teorem 2.4   [Teorem srednje vrijednosti] Ako su funkcije $ f,g:[a,b]\to\mathbb{R}$ neprekidne i $ g(x)\neq 0$ , onda postoji točka $ c\in(a,b)$ takva da je

$\displaystyle \frac{f(c)}{g(c)}=\frac{\displaystyle \int_a^b f(x) dx}{\displaystyle \int_a^b g(x) dx}. $

Posebno (uz $ g(x)\equiv 1$ ) vrijedi

$\displaystyle f(c)=\frac{1}{b-a}\int\limits _a^b f(x) dx. $

Dokaz.
Neka su $ F$ i $ G$ primitivne funkcije funkcija $ f$ i $ g$ na segmentu $ [a,b]$ , redom. Kako su $ f$ i $ g$ neprekidne, to su $ F$ i $ G$ derivabilne na $ (a,b)$ . Pored toga, $ G'(x)=g(x)\neq 0$ . Dakle, funkcije $ F$ i $ G$ ispunjavaju uvjete [*] Cauchyjevog teorema, pa postoji točka $ c\in(a,b)$ takva da je

$\displaystyle \frac{f(c)}{g(c)}=\frac{F'(c)}{G'(c)}=\frac{F(b)-F(a)}{G(b)-G(a)}= \frac{\displaystyle \int_a^b f(x) dx}{\displaystyle \int_a^b g(x) dx} $

i prva tvrdnja teorema je dokazana. Druga tvrdnja slijedi iz prve ako uzmemo $ g(x)\equiv 1$ .     
Q.E.D.

Grafička interpretacija druge tvrdnje teorema je sljedeća: površina između funkcija $ f(x)$ i $ x$ -osi od $ a$ do $ b$ jednaka je površini pravokutnika s bazom $ b-a$ i visinom $ f(c)$ , s time što površina i visina mogu biti i negativne (slika 2.7). Vrijednost $ f(c)$ je srednja vrijednost funkcije $ f$ na intervalu $ [a,b]$ .

Slika 2.7: Teorem srednje vrijednosti
\begin{figure}\begin{center} \epsfig{file=slike/srednja,width=6.8cm} \end{center}\end{figure}

Zadatak 2.1   Izračunajte srednju vrijednost funkcije $ f(x)=x^2$ na intervalu $ [0,1]$ .

Teorem 2.5   Neka su funkcije $ f,g:[a,b]\to\mathbb{R}$ integrabilne na $ [a,b]$ . Tada vrijedi:
i.
određeni integral je linearan:

$\displaystyle \int\limits _a^b (\alpha f(x)+\beta g(x)) dx=\alpha \int\limits _a^b f(x) dx +\beta \int\limits _a^b g(x) dx, $

ii.
određeni integral je monoton, odnosno ako je $ f(x)\leq g(x)$ za svaki $ x\in[a,b]$ , onda je

$\displaystyle \int\limits _a^b f(x) dx\leq \int\limits _a^b g(x) dx, $

iii.
određeni integral zadovoljava nejednakost trokuta:

$\displaystyle \bigg\vert \int\limits _a^b f(x) dx\bigg\vert \leq \int\limits _a^b \vert f(x)\vert dx. $

Dokaz.
i.
Neka su $ F$ i $ G$ primitivne funkcije od $ f$ i $ g$ , redom. Dakle, $ F'(x)=f(x)$ za $ x\in[a,b]\setminus A_f$ i $ G'(x)=g(x)$ za $ x\in[a,b]\setminus A_g$ , pri čemu su $ A_f$ i $ A_g$ diskretni podskupovi intervala $ [a,b]$ . Vrijedi $ (\alpha F(x)+\beta G(x))'=\alpha f(x)+\beta g(x)$ za $ x\in[a,b]\setminus \{ A_f \cup A_g\}$ , pri čemu je $ A_f \cup A_g$ diskretan podskup intervala $ [a,b]$ , pa je funkcija $ \alpha F+\beta G$ primitivna funkcija funkcije $ \alpha f+\beta g$ . Newton-Leibnitzova formula daje

$\displaystyle \int\limits _a^b (\alpha f(x)+\beta g(x)) dx$ $\displaystyle =\alpha F(x)+\beta G(x) \bigg\vert _a^b$    
  $\displaystyle =\alpha F(b)+\beta G(b) -(\alpha F(a)+\beta G(a))$    
  $\displaystyle =\alpha(F(b)-F(a))+\beta (G(b)-G(a))$    
  $\displaystyle =\alpha \int\limits _a^b f(x) dx+ \beta \int\limits _a^b f(x) dx.$    

ii.
Zbog $ f(x)\leq g(x)$ za svaku podjelu $ D$ segmenta $ [a,b]$ odgovarajuće donje sume zadovoljavaju nejednakosti

$\displaystyle d(f,D)\leq d(g,D)\leq \int\limits _a^b g(x) dx. $

Dakle,

$\displaystyle \int\limits _a^b g(x) dx\geq \sup_{D\in\mathbb{D}} d(f,D)= \int\limits _a^b f(x) dx. $

iii.
Svojstvo apsolutne vrijednosti realnog broja (vidi [*]M1, poglavlje 1.7.2) povlači

$\displaystyle -\vert f(x)\vert\leq f(x)\leq \vert f(x)\vert. $

Druga tvrdnja teorema povlači

$\displaystyle -\int\limits _a^b \vert f(x)\vert dx\leq \int\limits _a^b f(x) dx\leq \int\limits _a^b \vert f(x)\vert dx, $

pa isto svojstvo apsolutne vrijednosti (primijenjeno u obratnom smjeru) daje tvrdnju.     
Q.E.D.

Supstitucija i parcijalna integracija     ODREĐENI INTEGRAL     Nepravi integral