×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Metode supstitucije     NEODREĐENI INTEGRAL     Rekurzivne formule

Metoda parcijalne integracije

Ova metoda sastoji se od povoljnog rastavljanja zadanog integrala u obliku

$$\int f(x) dx= \int u(x)v'(x) dx= \int u(x) d(v(x)),$$

i primjene sljedećeg teorema.

Teorem 1.7   Ako su funkcije $u,v:I\to\mathbb{R}$ derivabilne na intervalu $I$ , onda vrijedi formula parcijalne integracije

$$\int u(x) v'(x) dx= u(x) v(x) - \int v(x) u'(x) dx.$$

Dokaz.

Neka je $F:I\to R$ primitivna funkcija funkcije $u(x) v'(x)$ na intervalu $I$ , odnosno $F$ je neprekidna i vrijedi

$$F'(x)=u(x) v'(x), \qquad x\in I\setminus A,$$

pri čemu je $A\subset I$ diskretan podskup. Zbog derivabilnosti funkcija $u$ i $v$ je i funkcija $u(x) v(x)$ neprekidna na intervalu $I$ . Stoga je funkcija

$$G(x)=u(x) v(x)-F(x)$$

neprekidna na intervalu $I$ te za svaki $x\in I\setminus A$ vrijedi

$$G'(x) = u'(x) v(x)+u(x) v(x)-F'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x)-u(x) v'(x)$$

$$=u'(x) v(x).$$

Dakle, $G$ je primitivna funkcija funkcije $u' v$ na intervalu $I$ pa je

$$F(x)=u(x) v(x)-G(x)$$

i teorem je dokazan.

Q.E.D.

Izbor funkcija $u$ i $v$ je stvar iskustva. Tvrdnju teorema 1.7 možemo zapisati u kraćem obliku:

$$\int u dv=u v-\int v du.$$

Primjer 1.6  

a)

Vrijedi

$$\int x e^x dx = \left\{ \begin{aligned}u&=x, \quad du= dx, dv&=e^x ... ...quad v=\int dv=\int e^x dx=e^x \end{aligned} \right\} = xe^x-\int e^x dx$$

$$= xe^x-e^x+ C.$$

Prilikom rješavanja pomoćnog integrala $\int dv$ nije potrebno pisati konstantu integracije, jer je dovoljna jedna konstanta integracije $C$ na kraju zadatka.

b)

Za funkciju $u$ možemo uzeti i čitavu podintegralnu funkciju ukoliko se ona deriviranjem pojednostavni:

$$\int \ln x dx= \left\{ \begin{aligned} u&=\ln x, \quad du... ...aligned}\right\} = x\ln x-\int x \frac{1}{x} dx= x\ln x-x+C.$$

c)

Formulu parcijalne integracije možemo primijeniti više puta uzastopce:

$$\int (x^2+2x) \cos x dx = \left\{ \begin{aligned}u&=x^2+2x, \quad du=(2x+2) dx, dv&= \cos x dx, \quad v=\int \cos x dx=\sin x \end{aligned} \right\}$$

$$= (x^2+2x)\sin x-\int \sin x (2x+2) dx$$

$$= \left\{ \begin{aligned}u&=2x+2, \quad du=2 dx, dv&= \sin x dx, \quad v=\int \sin x dx=-\cos x \end{aligned} \right\}$$

$$= (x^2+2x)\sin x - \bigg[ (2x+2)(-\cos x) - \int (-\cos x) 2 dx\bigg]$$

$$= (x^2+2x)\sin x + (2x+2)\cos x -2\sin x +C.$$

Općenito, zaključujemo da integrale oblika

$$\int p_n(x) e^x dx, \quad \int p_n(x) \sin x dx, \quad \int p_n(x) \cos x dx,$$

gdje je $p_n$ polinom $n$ -tog stupnja, možemo riješiti primjenom parcijalne integracije $n$ puta za redom.

d)

Integrale sljedećeg tipa rješavamo tako da nakon dvostruke parcijalne integracije dobijemo izraz koji opet sadrži polazni integral:

$$\int e^x \sin x dx = \left\{ \begin{aligned}u&=e^x, \quad du=e^x dx, dv&= \sin x dx, \quad v=-\cos x \end{aligned} \right\}$$

$$= e^x(-\cos x)-\int (-\cos x)e^x dx$$

$$= -e^x\cos x+\int e^x \cos x dx$$

$$= \left\{ \begin{aligned}u&=e^x, \quad du=e^x dx, dv&= \cos x dx, \quad v=\sin x \end{aligned} \right\}$$

$$= -e^x\cos x+e^x\sin x-\int e^x\sin x dx.$$

Iz prethodne jednakosti slijedi

$$\int e^x \sin x dx= \frac{1}{2} e^x (\sin x-\cos x) +C.$$

Primijetimo da smo zbog svojevrsne simetrije zadatak mogli riješiti i pomoću rastava $u=\sin x$ i $dv=e^x dx$ .

Zadatak 1.1  

a)

Izračunajte integral $\int x^3 \sin x dx$ .

b)

Izračunajte integral $\int xe^x \sin x dx$ . Je li moguće riješiti integral oblika
$\int p_n(x) e^x \sin x dx$ , gdje je $p_n$ polinom $n$ -tog stupnja?

c)

Provjerite rješenja zadatka i primjera 1.6 deriviranjem.

Poglavlja

• Rekurzivne formule

Metode supstitucije     NEODREĐENI INTEGRAL     Rekurzivne formule