×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Tablica osnovnih integrala     NEODREĐENI INTEGRAL     Metoda parcijalne integracije

Metode supstitucije

Za rješavanje složenijih integrala često koristimo dvije metode supstitucije. One se sastoje u tome da se zadani integral

1)

dopustivom zamjenom varijable integracije nekom funkcijom (bijekcijom) ili

2)

dopustivom zamjenom nekog analitičkog izraza novom varijablom integracije

svede na tablični integral.

Teorem 1.5   Neka je zadana funkcija $f:I\to \mathbb{R}$ . Neka je $I_1$ neki drugi interval i neka je funkcija $\varphi:I_1\to I$ derivabilna bijekcija. Neka je i inverzna funkcija $\varphi ^{-1}:I\to I_1$ također derivabilna. Ako je $\psi:I_1\to \mathbb{R}$ primitivna funkcija funkcije $(f\circ \varphi )\varphi '$ na intervalu $I_1$ , odnosno ako je

$$\int (f\circ \varphi )(t)\varphi '(t) dt=\psi(t)+C,$$

onda je $F=\psi\circ\varphi ^{-1}:I\to \mathbb{R}$ primitivna funkcija funkcije $f$ na intervalu $I$ , odnosno

$$\int f(x) dx=\psi(\varphi ^{-1}(x))+C, \qquad x\in I.$$

Drugim riječima, $\int f(x) dx$ možemo rješavati pomoću supstitucije $x=\varphi (t)$ , pri čemu je $\varphi$ bijekcija:

$$\int f(x) dx =\left\{ \begin{aligned}x&=\varphi (t) dx&=\varphi '(t) dt \end{aligned} \right\} = \int f(\varphi (t))\varphi '(t) dt$$

$$=\psi(t)+C =\big\{ t=\varphi ^{-1}(x) \big\} =\psi(\varphi ^{-1}(x))+C.$$

Bijektivnost funkcije $\varphi$ nužna je za vraćanje supstitucije natrag.

Dokaz.

Po pretpostavci teorema, funkcija $\psi$ je neprekidna jer je to primitivna funkcija. Funkcija $\varphi ^{-1}$ je neprekidna jer je derivabilna pa je funkcija $F=\psi \circ\varphi ^{-1}$ neprekidna na intervalu $I$ . Nadalje, postoji diskretan podskup $A_1\subset I_1$ takav da je

$$\psi'(t)=f(\varphi (t))\varphi '(t), \qquad \forall t\in I_1\setminus A_1.$$

Zbog bijektivnosti funkcije $\varphi$ je i skup $A=\varphi (A_1)\subset I$ također diskretan te vrijedi

$$x=\varphi (t)\in I\setminus A \quad \Longleftrightarrow \quad t=\varphi ^{-1}(x)\in I_1\setminus A_1.$$

Dakle, za $x\in I\setminus A$ vrijedi

$$F'(x) = (\psi\circ\varphi ^{-1})'(x) = \psi'(\varphi ^{-1}(x))(\varphi ^{-1})'(x)$$

$$=f(\varphi ( \varphi ^{-1}(x))) \varphi '(\varphi ^{-1}(x))\cdot (\varphi ^{-1})'(x)$$

$$=f(x)$$

pa je $F$ primitivna funkcija funkcije $f$ na intervalu $I$ i teorem je dokazan.

Q.E.D.

Primjer 1.4   Vrijedi

$$\int \frac{1+\sqrt[3]{x}}{\sqrt{x}} dx =\bigg\{ \begin{aligned}x&=t^6 dx&=6t^5 dt \end{aligned} \bigg\} =\int \frac{1+t^2}{t^3} 6t^5 dt = 6\int(t^2+t^4) dt$$

$$=6\frac{t^3}{3}+6\frac{t^5}{5} =\big\{ t=\sqrt[6]{x} \big\} =2x^{\frac{3}{6}}+\frac{6}{5}x^{\frac{5}{6}}+C$$

$$=2\sqrt{x}+\frac{6}{5}\sqrt[6]{x^5}+C.$$

Primijetimo da funkcija $\varphi (t)=t^6$ nije bijekcija za $t\in \mathbb{R}$ . Međutim, kako je zadani integral definiran samo za $x>0$ , možemo uzeti da $t>0$ , pa ja za takve $t$ funkcija $t^6$ bijekcija.

Teorem 1.6   Neka je dana funkcija $f:I\to \mathbb{R}$ . Neka postoje interval $I_1$ , derivabilna funkcija $\varphi :I\to I_1$ i funkcija $g:I_1\to \mathbb{R}$ za koje vrijedi

$$f(x)=g(\varphi (x))\varphi '(x), \qquad \forall x\in I.$$

Neka je $G:I_1\to \mathbb{R}$ primitivna funkcija funkcije $g$ na intervalu $I_1$ , odnosno

$$G'(t)=g(t),\qquad \forall t\in I_1\setminus A_1,$$

pri čemu je $A_1\subset I_1$ diskretan podskup. Neka je skup $A$ definiran s $A=\{x\in I : \varphi (x)\in A_1\}$ . Tada je $F=G\circ \varphi$ primitivna funkcija funkcije $f$ na intervalu $I$ , odnosno za svaki $x\in I$ vrijedi

$$\int f(x) dx =\int g(\varphi (x))\varphi '(x) dx\bigg\{ \begin{aligned}t&=\varphi (x) dt&=\varphi '(x) dx \end{aligned} \bigg\} =\int g(t) dt$$

$$= G(t)+C = G(\varphi (x))+C = F(x)+C.$$

Dokaz.

Funkcija $G$ je po pretpostavci neprekidna na intervalu $I_1$ , a funkcija $\varphi$ je derivabilna i neprekidna na intervalu $I$ . Stoga je funkcija $F=G\circ \varphi$ neprekidna na intervalu $I$ . Nadalje, skup $A$ je diskretan pa za $x\in I\setminus A$ vrijedi $\varphi (x)\in I_1\setminus A_1$ i

$$F'(x)=(G\circ \varphi )'(x)=G'(\varphi (x)) \cdot \varphi '(x) = g(\varphi (x))\varphi '(x)=f(x),$$

odnosno $F$ je primitivna funkcija funkcije $f$ na intervalu $I$ .

Q.E.D.

Primjer 1.5  

a)

Vrijedi

$$\int \sqrt{2 x+3} dx = \left\{ \begin{aligned}2 x+3&=t 2 dx&= dt \end{aligned}... ... \frac{1}{2}\cdot \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C=\frac{1}{3}\sqrt{t^3}+C$$

$$= \frac{1}{3}\sqrt{(2x+3)^3}+C.$$

b)

Vrijedi

$$\int \cos 5x dx= \left\{ \begin{aligned} 5 x&=t 5 dx... ... \frac{1}{5} dt= \frac{1}{5}\sin t+C =\frac{1}{5}\sin 5x+C.$$

c)

Vrijedi

$$\int \frac{ dx}{x^2+2x+2} = \frac{ dx}{(x+1)^2+1} = \left\{ \begin{aligned}x+1&=t d... ...ned} \right\} = \int \frac{ dt}{t^2+1}= \mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits t +C$$

$$= \mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits (x+1) + C.$$

d)

Vrijedi

$$\int \frac{x dx}{(1+x^2)^r} = \left\{ \begin{aligned}1+x^2&=t 2x dx&= dt \end{aligned} \right\} = \int \frac{\frac{1}{2} dt}{t^r}=\frac{1}{2}\int t^{-r} dt$$

$$= \left\{ \begin{aligned}\frac{1}{2}\ln \vert t\vert+C_1, \quad \... ...cdot \frac{t^{-r+1}}{-r+1}+C_2, \quad \textrm{za } r\neq 1 \end{aligned}\right.$$

$$=\left\{ \begin{aligned}\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C_1,\quad \textrm{... ...frac{(1+x^2)^{-r+1}}{-r+1}+C_2,\quad \textrm{za } r\neq 1 \end{aligned} \right.$$

Integrale u primjeru 1.5 a), b) i c) smo formalno mogli riješiti i koristeći teorem 1.5, odnosno pomoću supstitucija

$$x=\varphi (t)=\frac{t-3}{2}, \qquad x=\varphi (t)=\frac{1}{5} t,\qquad x=\varphi (t)=t-1,$$

redom, koje su sve bijekcije na skupu $\mathbb{R}$ .

Napomena 1.2   Postupak rješavanja integrala u primjeru 1.5 c) i d) koristi se u rješavanju integrala racionalnih funkcija u poglavlju 1.4.

Tablica osnovnih integrala     NEODREĐENI INTEGRAL     Metoda parcijalne integracije