×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 VIŠESTRUKI INTEGRALI     VIŠESTRUKI INTEGRALI     Dvostruki integral

Definicija i osnovna svojstva

Višestruki integral (ili $n$ -terostruki integral je integral funkcije $n$ varijabla koja je definirana na zatvorenom $n$ -dimenzionalnom kvadru

$$K=[a_1,b_1]\times [a_1,b_1]\times \cdots \times [a_n,b_n]\subseteq \mathbb{R}^n, \qquad [a_i,b_i]\in \mathbb{R},$$

a definira se slično određenom integralu funkcija $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ .

Definicija 4.1   Neka je $D_i=\{ x_0^{(i)},x_1^{(i)},\ldots,x_n^{(i)}\}$ , pri čemu je

$$a_i=x_0^{(i)}\leq x_1^{(i)}\leq x_2^{(i)} \leq \cdots \leq x_{n-1}^{(i)} \leq x_n^{(i)}=b_i,$$

jedna podjela segmenta $[a_i,b_i]$ prema definiciji 2.1. Neka $\mathcal{D}_i$ označava skup svih podjela segmenta $[a_i,b_i]$ . Kartezijev produkt

$$D=D_1\times D_2\times \cdots \times D_n,\qquad D_i\in\mathcal{D}_i,$$

zove se podjela (rastav ili dekompozicija) kvadra $K$ . Skup svih rastava kvadra $K$ označimo s $\mathcal{D}$ .

Neka je $f:K\to\mathbb{R}$ omeđena funkcija, to jest, neka postoje $m,M\in \mathbb{R}$ takvi da je

$$m\leq f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\leq M,\qquad \forall (x_1,x_2,\ldots,x_n)\in K.$$

Tada svakoj podjeli $D\in\mathcal{D}$ možemo pridružiti gornju integralnu sumu

$$g(f,D)=\sum_{i_1=1}^{k_1}\sum_{i_2=1}^{k_2}\cdots \sum_{i_n=1}^{k... ...^{(1)})(x_{i_2}^{(2)}-x_{i_2-1}^{(2)})\cdots (x_{i_n}^{(n)}-x_{i_n-1}^{(n)}),$$

gdje je

$$M_{i_1,i_2,\ldots,i_n}=\sup\{ f(x_1,x_2,\ldots,x_n): x_k\in [x_{i_k-1}^{(k)},x_{i_k}^{(k)}] \},$$

i donju integralnu sumu

$$d(f,D)=\sum_{i_1=1}^{k_1}\sum_{i_2=1}^{k_2}\cdots \sum_{i_n=1}^{k... ...^{(1)})(x_{i_2}^{(2)}-x_{i_2-1}^{(2)})\cdots (x_{i_n}^{(n)}-x_{i_n-1}^{(n)}),$$

gdje je

$$M_{i_1,i_2,\ldots,i_n}=\sup\{ f(x_1,x_2,\ldots,x_n): x_k\in [x_{i_k-1}^{(k)},x_{i_k}^{(k)}] \}.$$

Ako je

$$\inf \{ g(f,D) : D\in\mathcal{D} \}=\sup \{ d(f,D) : D\in\mathcal{D} \}= I,$$

broj $I$ je određeni (višestruki, $n$ -terostruki) integral funkcije $f$ na kvadru $K$ . Kažemo da je funkcija $f$ integrabilna na kvadru $K$ i pišemo

$$I=\int\limits _K f(x_1,x_2\ldots,x_n) dx_1 dx_2 \cdots dx... ...\int \int\limits _K\cdots \int\limits f(x_1,\ldots,x_n) dx_1\cdots dx_n.$$

Definiciju ćemu ilustrirati sljedećim primjerom.

Primjer 4.1   Izračunajmo dvostruki integral funkcije $f(x,y):[0,4]\times [0,3]\to R$ definiranu formulom $f(x,y)=3-x/4-y/3$ . Radi se o dijelu ravnine $z=3-x/4-y/3$ koji se nalazi iznad kvadra (pravokutnika) $K=[0,4]\times [0,3]$ . Vrhovi tog dijela ravnine su točke $(0,0,3)$ , $(4,0,2)$ , $(0,3,2)$ i $(4,3,1)$ . Funkcija $f$ i jedna podjela kvadra prikazani su na slici 4.1. Baza kvadra (pravokutnik) u ovom je slučaju rastavljena na 48 dijelova - segment $[0,4]$ rastavljen je na osam, a segment $[0,3]$ na šest dijelova.

Slika: Primjer višestrukog integrala

Zadana funkcija na svakom dijelu $[x_{i-1},x_i]\times [y_{i-1},y_i]$ očito postiže maksimum u prednjem lijevom uglu, a minimum u stražnjem desnom uglu,

$$M_{i,j} =\max_{(x,y)\in [x_{i-1},x_i]\times [y_{i-1},y_i]} f(x,y)= f(x_{i-1},y_{j-1})= 3-\frac{x_{i-1}}{4}-\frac{y_{j-1}}{3},$$

$$m_{i,j} =\max_{(x,y)\in [x_{i-1},x_i]\times [y_{i-1},y_i]} f(x,y)= f(x_{i},y_{j})= 3-\frac{x_{i}}{4}-\frac{y_{j}}{3}.$$

Uz oznake $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$ i $\Delta y_j=y_j-y_{j-1}$ , donja suma jednaka je

$$d(f,D) =\sum_i\sum_j f(x_i,y_i) \Delta x_i \Delta y_j = \sum_i\sum_j \left(3-\frac{x_{i}}{4}-\frac{y_{j}}{3}\right) \Delta x_i \Delta y_i$$

$$=3 \sum_i\sum_j \Delta x_i \Delta y_i -\frac{1}{4} \sum_j\Delta y_j \sum_i x_i \Delta x_i - \frac{1}{3} \sum_i \Delta x_i \sum_j y_j \Delta y_j$$

$$= 3\cdot 12 -\frac{3}{4} \sum_i x_i \Delta x_i - \frac{4}{3} \sum_j y_j \Delta y_j.$$

Prelaskom na limes kada $\Delta x_i\to 0$ i $\Delta y_j\to 0$ i korištenjem definicije određenog integrala iz poglavlja 2.1 imamo

$$\sup d(f,D)= \lim_{\substack{\Delta x_i\to 0 \Delta y_j \to 0}... ... 36-\frac{3}{4}\int\limits _0^4 x dx-\frac{4}{3}\int\limits _0^3 y dy= 24.$$

Na sličan se način pokaže da je

$$\inf g(f,D)= \lim_{\substack{\Delta x_i\to 0 \Delta y_j \to 0}} g(f,D)=24$$

pa je zadana funkcija integrabilna na kvadru $K$ i vrijedi

$$\iint\limits_{K} \left(3-\frac{x}{4}-\frac{y}{3}\right) dx dy=24.$$

Ako područje integracije nije kvadar, višestruki integral definiramo na sljedeći način:

Definicija 4.2   Neka je $f:D\to \mathbb{R}$ , $D\subseteq\mathbb{R}^n$ omeđena funkcija i neka je $D$ sadržano u nekom kvadru $K$ ($D$ ne mora biti kvadar). Funkciju $g:K\to \mathbb{R}$ definiramo kao proširenje funkcije $f$ :

$$g(x_1,\ldots,x_n)= \left\{ \begin{array}{cl} f(x_1,\ldots,x_n), &... ...ldots,x_n)\in D,\\ 0, & (x_1,\ldots,x_n) \in K\setminus D. \end{array}\right.$$

Ako je funkcija $g$ integrabilna na kvadru $K$ , integral funkcije $f$ na skupu $D$ definiramo kao

$$\int\limits _D f(x_1,\ldots,x_n) dx_1\cdots dx_n = \int\limits _K g(x_1,\ldots,x_n) dx_1\cdots dx_n.$$

Skup $D$ je područje integracije.

Iz prethodnih definicija slijede osnovna svojstva višestrukog integrala. Za funkcije $f$ i $g$ koje su integrabilne na području $D$ vrijedi:

V1.

linearnost, odnosno

$$\int\limits _D (\alpha f+\beta g) dx_1\cdots dx_n = \alpha \... ...mits _D f dx_1\cdots dx_n +\beta \int\limits _D g dx_1\cdots dx_n,$$

gdje su $\alpha,\beta \in \mathbb{R}$ , i

V2.

integriranje po dijelovima područja integracije, odnosno

$$\int\limits _D f dx_1\cdots dx_n=\int\limits _{D_1} f dx_1\cdots dx_n+\int\limits _{D_2} f dx_1\cdots dx_n,$$

gdje je $D=D_1 \cup D_2$ i $D_1\cap D_2 =\emptyset$ .

VIŠESTRUKI INTEGRALI     VIŠESTRUKI INTEGRALI     Dvostruki integral