×   HOME
SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS
SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA
SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA
JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
☰   matematika2
Lokalni ekstremi funkcija triju     FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     Ekstremi na zatvorenom području,


Ekstremi na zatvorenom području, 1. primjer

Odredite globalne ekstreme funkcije

$\displaystyle f(x,y)=x^2-2y^2+4xy-6x-1$    

na skupu $ D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x\ge0,y\ge0,x+y\le3\}$ .

Rješenje.

Dio plohe $ \displaystyle z=x^2-2y^2+4xy-6x-1$ nad zatvorenim područjem $ D$ prikazan je na slici 3.10.

Slika: Ploha $ \displaystyle z=x^2-2y^2+4xy-6x-1$ nad zatvorenim područjem $ D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x\ge0,y\ge0,x+y\le3\}$ .
\begin{figure} \begin{center} \epsfig{file=sl10_ekstremi.eps, width=8cm} \end{center} \end{figure}

U ovakvim zadacima, budući da tražimo samo globalne ekstreme, nećemo provjeravati dovoljne uvjete za postojanje ekstrema funkcije, već ćemo izračunati sve stacionarne točke funkcije nad zadanim zatvorenim područjem, i uspoređivanjem funkcijskih vrijednosti u tim točkama izdvojiti točke globalnog minimuma i maksimuma. Pronađimo najprije stacionarne točke funkcije $ f$ na cijelom području definicije. Rješavanjem sustava

$\displaystyle f_x$ $\displaystyle =2x+4y-6=0$    
$\displaystyle f_y$ $\displaystyle =4x-4y=0$    

dolazimo do točke $ T_1(1,1)$ . Zanimljiva nam je jer se nalazi unutar područja $ D$ , inače bismo je isključili iz promatranja. Pronađimo zatim točke ekstrema na rubovima područja $ D$ . Kandidati za ekstrem su naravno i točke $ T_2(3,0)$ , $ T_3(0,3)$ i $ T_4(0,0)$ .
a)
Promotrimo segment $ y=0$ , $ x\in[0,3]$ (označimo ga sa $ a$ ). Vrijedi

$\displaystyle f(x,0)=f(x)=x^2-6x-1$,    

pa $ f$ na tom segmentu možemo promatrati kao funkciju jedne varijable. Iz $ f'(x)=2x-6=0$ dobivamo $ x=3$ , što znači da je rubna točka $ T_2(3,0)$ jedina stacionarna točka funkcije $ f=f(x)$ nad segmentom $ a$ .
b)
Označimo sa $ b$ segment $ x=0$ , $ y\in[0,3]$ . Na njemu vrijedi

$\displaystyle f(0,y)=f(y)=-2y^2-1$,    

pa ponovo ekstreme funkcije $ f$ nad $ b$ možemo tražiti uz pomoć alata za računaje ekstrema funkcije jedne varijable [*][M1, poglavlje 5.7]. Kako iz $ f'(y)=-4y=0$ slijedi $ y=0$ , zaključujemo da ni unutar segmenta $ b$ nema stacionarnih točaka funkcije $ f$ .

c)
Preostao je rub $ c$ određen s $ x\in[0,3]$ , $ y=3-x$ . Na njemu vrijedi

$\displaystyle f(x,y)=f(x, 3-x)=x^2-2(3-x)^2+4x(3-x)-6x-1=-5x^2+18x-19$.    

Iz $ f'(x)=-10x+18=0$ slijedi $ x=1.8$ i $ y=3-1.8=1.2$ . Dakle, točka $ T_5(1.8,1.2)$ je stacionarna točka funkcije $ f$ nad segmentom $ c$ .
Prikažimo sada dobivene rezultate u preglednoj tablici:

$\displaystyle \begin{tabular}{c\vert c} $T(x,y)$ & $f(T)$ \hline $T_1(1,... ...3)$ & $-19$ $T_4(0,0)$ & $-1$ $T_5(1.8,1.2)$ & $-2.8$ \end{tabular}$    

Budući da su navedene točke jedini kandidati za točke minimuma i maksimuma, a da globalni ekstremi moraju postojati (funkcija je neprekidna nad $ D$ ), očito je da $ f$ u $ T_3(0,3)$ ima globalni minimum, a u $ T_4(0,0)$ globalni maksimum nad područjem $ D$ .

Lokalni ekstremi funkcija triju     FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     Ekstremi na zatvorenom području,