Logistička jednadžba

Vijesti se šire gradom tako da je brzina širenja vijest proporcionalna produktu dijela stanovništva koji su čuli vijest i dijela stanovništva koji nisu čuli vijest. Gradić ima 1000 stanovnika. U sati, vijest je čulo 80 ljudi, a do podne ju je čulo pola grada.

a): Napišite diferencijalnu jednadžbu koju zadovoljava i riješite je.
b): U kojem će trenutku $90\%$ stanovništva znati vijest?

Rješenje.

a)

Vrijedi

$\displaystyle y^{\prime }$

$\displaystyle =ky\left( 1000-y\right),$

pa je

$\displaystyle \frac{dy}{y\left( 1000-y\right) }$	$\displaystyle =k dt$
$\displaystyle \frac{1}{1000}\left( \frac{1}{y}+\frac{1}{1000-y}\right) dy$	$\displaystyle =k dt.$

Integriranjem dobivamo

$\displaystyle \frac{1}{1000}\ln \frac{y}{1000-y}$	$\displaystyle =kt+\ln C$
$\displaystyle \ln \frac{y}{1000-y}$	$\displaystyle =1000kt+1000\ln C$
$\displaystyle \frac{y}{1000-y}$	$\displaystyle =Ae^{1000kt}.$

b)

Zadano je

$\displaystyle y\left( 0\right)$	$\displaystyle =80$
$\displaystyle y\left( 4\right)$	$\displaystyle =500$
$\displaystyle y\left( t_{0}\right)$	$\displaystyle =900.$