☰ matematika2

Sustav lovac-plijen DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE Rješenja zadataka za vježbu

Zadaci za vježbu

1.

Provjerite da li je $\displaystyle\varphi (x)=\frac{1}{x}$ rješenje diferencijalne jednadžbe $\displaystyle y^{\prime \prime }=x^{2}+y^{2}$ .

2.

Odredite diferencijalnu jednadžbu za familiju krivulja $\displaystyle\frac{x^{2}}{c^{2}}+\frac{y^{2}}{4}=1$ .

3.

Odredite krivulju iz familije krivulja $\displaystyle y=c_{1}\sin (x-c_{2})$ , koja zadovoljava početne uvjete $y(\pi )=1$ , $y^{\prime }(\pi )=0$ .

4.

Populacija je modelirana diferencijalnom jednadžbom $\displaystyle \frac{dP}{dt}=1.2P\left( 1-\frac{P}{4200}\right)$ .

a): Za koje vrijednosti od populacija raste?
b): Za koje vrijednosti od populacija pada?

5.

Kolač je izvađen iz pećnice na $200^{\circ }C$ . Nakon

minuta temperatura kolača bila je $150^{\circ }C$ . Za koliko će vremena kolač biti na temperaturi od $30^{\circ }C$ ako je sobna temperatura $20^{\circ }C$ ?

6.

Vrijeme poluraspada izotopa stroncija $^{90}Sr$ je

godina. Početna masa uzorka $^{90}Sr$ je

mg.

a): Izračunajte masu koja ostaje nakon godina.
b): Koliko vremena treba da se masa smanji na mg?

7.

Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe $\displaystyle y^{\prime }x^{3}=2y$ .

8.

Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe $\displaystyle xy^{\prime }+y=y^{2}$ .

9.

Nađite rješenje diferencijalne jednadžbe

$\displaystyle \displaystyle e^{y}(1+x^{2})dy-2x(1+e^{y})dx=0$

uz početni uvjet $\displaystyle y(0)=0$ .

10.

Odredite opće rješenje sljedećih diferencijalnih jednadžbi:

a): $\displaystyle y^{\prime }=\frac{xy}{x^{2}-y^{2}}$ ,
b): $\displaystyle\left( y^{\prime }-\frac{y}{x}\right) \mathop{\mathrm{arctg}} \frac{y}{x}=1$ ,
c): $\displaystyle(2x-y+4) dy+(x-2y+5) dx=0$ ,
d): $\displaystyle y^{\prime }=\frac{1-3x-3y}{1+x+y}$ ,
e): $\displaystyle(x^{2}-y) dx+(y^{2}-x) dy=0$ ,
f): $\displaystyle2xy\ln y dx+(x^{2}+y^{2}\sqrt{y^{2}+1}) dy=0$ , $\lambda =\lambda (y)$ ,
g): $\displaystyle\left( x\cos y-y\sin y\right) dy+\left( x\sin y+y\cos y\right) dx=0$ , $\lambda =\lambda (x)$ .

11.

Odredite jednadžbu ortogonalne trajektorije familije krivulja $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2ax$ koja prolazi kroz točku

12.

Odredite ortogonalne trajektorije familije krivulja $\displaystyle y^{2}=ax$ .

13.

Nađite ortogonalne trajektorije familije krivulja $\displaystyle xy=a$ .

14.

Odredite singularna rješenja jednadžbe $\displaystyle y^{2}(y^{\prime })^{2}+y^{2}-1=0$

15.

Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe $\displaystyle y^{\prime }+y\cos x=\sin x\cos x$ , te partikularno rješenje koje zadovoljava uvjet $\displaystyle y(\frac{\pi }{2})=1$ .

16.

Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe $\displaystyle\left( 1-x^{2}\right) y^{\prime }+2xy-4x=0$ , te partikularno rješenje koje zadovoljava uvjet $\displaystyle y(0)=-1$ .

17.

Odredite opće rješenje sljedećih diferencijalnih jednadžbi:

a): $\displaystyle xy^{\prime }+\left( x+1\right) y=3x^{2}e^{-x}$ ,
b): $\displaystyle y=x\left( y^{\prime }-x\cos x\right)$ ,
c): $\displaystyle y^{\prime }+xy=x^{3}y^{3}$ ,
d): $\displaystyle y^{\prime }-ytgx=y^{4}\cos x$ ,
e): $\displaystyle y^{\prime }+\frac{y}{x}=x^{2}y^{4}$ .

18.

Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe $\displaystyle xy^{\prime }-y\left( 2y\ln x-1\right) =0$ , te partikularno rješenje koje zadovoljava uvjet $\displaystyle y(1)=1$ .

19.

Eulerovom metodom s korakom

izračunajte približnu vrijednost $y\left( 2\right)$ ako je $y=y\left(x\right)$ rješenje početnog problema $\displaystyle y^{\prime }=x\sin (x+y),\quad y\left( -1\right) =1$ .

20.

Eulerovom metodom s korakom

izračunajte približnu vrijednost $y\left(1\right)$ ako je $y=y\left(x\right)$ rješenje početnog problema $\displaystyle y^{\prime }=2xy^{2},\quad y\left( 0\right) =1$ .

21.

Odredite opće rješenje sljedećih diferencijalnih jednadžbi:

a): $\displaystyle y^{\prime \prime }=2\sin x\cos ^{2}x-\sin ^{3}x$ ,
b): $\displaystyle(1+x)y^{\prime \prime }+y^{\prime }=0$ ,
c): $\displaystyle y^{\prime \prime }+2y(y^{\prime })^{3}=0$ ,
d): $\displaystyle2y^{\prime \prime }-y^{\prime }-y=0$ ,
e): $\displaystyle y^{\prime \prime }+6y^{\prime }+13y=0$ .

22.

Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe $\displaystyle y^{\prime \prime }+2y^{\prime }+5y=0$ , te partikularno rješenje uz početne uvjete $\displaystyle y(0)=0$ , $\displaystyle y^{\prime}(0)=1$ .

23.

Odredite opće rješenje sljedećih diferencijalnih jednadžbi:

a): $\displaystyle y^{\prime \prime }-2y^{\prime }=x^{2}-x$ ,
b): $\displaystyle y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+y=e^{2x}$ ,
c): $\displaystyle y^{\prime \prime}-2y^{\prime}+10y=37\cos 3x$ ,
d): $\displaystyle 2y^{\prime \prime}-y^{\prime}-y=4xe^{2x}$ .

24.

Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe $\displaystyle y^{(4)}-81y=27e^{-3x}$ .

25.

Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe $\displaystyle y^{\prime \prime}-4y^{\prime}+4y=\sin (2x)+e^{2x}$ .

26.

Metodom varijacije konstanti odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe $\displaystyle y^{\prime \prime}+2y^{\prime}+y=\sqrt x\cdot e^{-x}$ .

27.

Metodom varijacije konstanti odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe $\displaystyle y^{\prime \prime}+y=\frac{1}{\sin ^3 x}$ .

28.

Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe $\displaystyle y^{\prime \prime}+4y^{\prime}+4y=e^{-2x} \ln x$ metodom varijacije konstanti.

29.

Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe $\displaystyle y^{\prime \prime}-3y^{\prime}+2y=e^x(3-4x)$ metodom varijacije konstanti te provjerite linearnu nezavisnost partikularnih rješenja.

30.

Riješite sustav diferencijalnih jednadžbi

$\displaystyle \frac{dy}{dx}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle y+z$
$\displaystyle \frac{dz}{dx}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle x+y+z.$

31.

Odredite ono rješenje sustava diferencijalnih jednadžbi

$\displaystyle \frac{dy}{dt}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 3z-y$
$\displaystyle \frac{dz}{dt}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle y+z+e^t,$

koje zadovoljava početne uvjete

32.

Riješite sustav diferencijalnih jednadžbi

$\displaystyle \frac{dy}{dx} +2y+z$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \sin x$
$\displaystyle \frac{dz}{dx} -4y-2z$	$\displaystyle =$	$\displaystyle \cos x.$

33.

Populacije biljnih ušiju (eng. aphids) i bubamara (eng. ladybugs) modelirane su jednadžbama

$\displaystyle \frac{dA}{dt}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle 2A-0.01AL$
$\displaystyle \frac{dL}{dt}$	$\displaystyle =$	$\displaystyle -0.5L+0.0001AL.$

a): Odredite rješenja ravnoteže i objasnite njihovo značenje.
b): Odredite izraz za $\displaystyle \frac{dL}{dA}$ .

Sustav lovac-plijen DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE Rješenja zadataka za vježbu