×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Eliminacija zajedničkih nul-točaka     Integriranje racionalnih funkcija     Rastavljanje na parcijalne razlomke

Svođenje na pravu racionalnu funkciju

Racionalna funkcija je prava racionalna funkcija ako je stupanj brojnika manji od stupnja nazivnika. Ukoliko je stupanj brojnika veći ili jednak od stupnja nazivnika, možemo podijeliti polinome, pa imamo

$$f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}=s(x)+\frac{r(x)}{q(x)},$$

pri čemu su $r$ i $s$ polinomi. Polinom $r$ je ostatak kod dijeljenja, a stupanj od $r$ je manji od stupnja od $q$ . Naravno, $\int s(x) dx$ se rješava neposrednim integriranjem, pa možemo zaključiti sljedeće:

Integriranje racionalnih funkcija svodi se na integriranje pravih racionalnih funkcija oblika

$$f(x)=\frac{p(x)}{q(x)},$$

pri čemu $p$ i $q$ nemaju zajedničkih nul-točaka i stupanj od $p$ je manji od stupnja od $q$ .

Primjer 1.7   Dijeljenje polinoma daje

$$\frac{x^3+x}{x^2-1}=x+\frac{2x}{x^2-1},$$

pa je

$$\int \frac{x^3+x}{x^2-1} dx = \int \bigg(x+\frac{2x}{x^2-1}\bigg) dx = \int x dx+ \int\frac{2x}{x^2-1} dx$$

$$= \bigg\{\begin{aligned}x^2-1&=t, 2x dx&= dt \end{aligned} \bigg\} = \frac{x^2}{2}+\int \frac{ dt}{t}=\frac{x^2}{2}+\ln \vert t\vert+C$$

$$=\frac{x^2}{2}+\ln \vert x^2-1\vert+C.$$

Eliminacija zajedničkih nul-točaka     Integriranje racionalnih funkcija     Rastavljanje na parcijalne razlomke