×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Definicija i osnovna svojstva     Definicija i osnovna svojstva     Metode supstitucije

Tablica osnovnih integrala

Kao što smo već kazali, tablicu osnovnih integrala dobijemo čitajući tablicu osnovnih derivacija (vidi M1, poglavlje 5.1.5) zdesna na lijevo, uz odgovarajuće manje prilagodbe. Sljedeće formule vrijede za $x\in\mathbb{R}$ , ukoliko nije drukčije navedeno. Za konstantnu funkciju i potencije vrijedi:

$$\int 0\cdot dx = C,$$

$$\int dx = \int 1\cdot dx=x+C,$$

$$\int x^n dx =\frac{x^{n+1}}{n+1}+C, \qquad n\in \mathbb{N}\cup \{0\},$$

$$\int \displaystyle \frac{1}{x^n} dx =-\displaystyle \frac{1}{(n-1) x^{n-1}}+C, \qquad n\in \mathbb{N}\setminus\{1\},$$

$$\int x^r dx =\frac{x^{r+1}}{r+1}+C, \qquad r\neq -1, \quad x>0,$$

$$\int x^{-1} dx = \int \displaystyle \frac{1}{x} dx=\ln \vert x\vert+C, \qquad x\neq 0.$$

Dokažimo zadnju formulu: za $x>0$ vrijedi $\ln\vert x\vert=\ln x$ pa je $(\ln \vert x\vert)'=(\ln x)'=1/x$ , dok za $x<0$ vrijedi $\ln \vert x\vert=\ln (-x)$ pa je

$$(\ln \vert x\vert)'=(\ln (-x))'=\frac{1}{-x}(-1)=\frac{1}{x}.$$

Za eksponencijalne funkcije imamo

$$\int e^x dx =e^x+C,$$

$$\int a^x dx =\frac{a^x}{\ln a} + C, \qquad a\in (0,+\infty)\setminus\{1\}.$$

Formule za derivacije trigonometrijskih funkcija povlače

$$\int \sin x dx =-\cos x+ C,$$

$$\int \cos x dx =\sin x+C,$$

$$\int \frac{1}{\cos^2 x} dx =\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x+C, \quad x\in \mathbb{R}\setminus \{k\pi+\frac{\pi}{2}, k\in\mathbb{Z}\},$$

$$\int \frac{1}{\sin^2 x} dx =-\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits x+C, \quad x\in \mathbb{R}\setminus \{k\pi, k\in\mathbb{Z}\},$$

a formule za derivacije arkus funkcija povlače

$$\int \frac{1}{1+x^2} dx =\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits x + C=-\mathop{\mathrm{arcctg}}\nolimits x+C,$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx =\arcsin x + C=-\arccos x+C, \quad x\in(-1,1).$$

Druge po redu jednakosti u prethodne dvije formule slijede iz jednakosti

$$\mathop{\mathrm{arcctg}}\nolimits x=\frac{\pi}{2}-\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits x, \qquad \arccos x=\frac{\pi}{2}-\arcsin x.$$

Primijetimo da integrali funkcija $\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x$ i $\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits x$ ne spadaju u tablične integrale.

Konačno, formule za derivacije hiperbolnih funkcija povlače

$$\int \mathop{\mathrm{sh}}\nolimits x dx =\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits x+ C,$$

$$\int \mathop{\mathrm{ch}}\nolimits x dx =\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits x+C,$$

$$\int \frac{1}{\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits ^2 x} dx =\mathop{\mathrm{th}}\nolimits x+C,$$

$$\int \frac{1}{\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits ^2 x} dx =-\mathop{\mathrm{cth}}\nolimits x+C, \quad x\neq 0,$$

dok formule za derivacije area funkcija povlače

$$\int \frac{1}{1-x^2} dx = \left\{ \begin{array}{rc} \mathop{\mathrm{arth}}\nolimits x + C... ...mathrm{arcth}}\nolimits x+C,& \textrm{ za } \vert x\vert>1 \end{array} \right\}$$

$$=\frac{1}{2}\ln \left\vert \frac{1+x}{1-x}\right\vert+C, \quad x\neq 1,$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} dx =\mathop{\mathrm{arsh}}\nolimits x + C= \ln (x+\sqrt{x^2+1})+C, \quad x\in \mathbb{R},$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} dx = \left\{ \begin{array}{rl} \mathop{\mathrm{arch}}\nolimits x + C... ...mathop{\mathrm{arch}}\nolimits (-x)+C,& \textrm{ za } x<-1 \end{array} \right\}$$

$$=\ln \vert x+\sqrt{x^2-1}\vert+C, \quad x\in \mathbb{R}\setminus [-1,1].$$

Primjer 1.3   Neposredno integriranje je najjednostavnija tehnika integriranja. Ono se sastoji u primjeni teorema 1.4 i tablice osnovnih integrala. Na primjer,

$$\int \big(4\cos x +\frac{1}{2} x^3 -3\big) dx = 4\int \cos x dx+ \frac{1}{2}\int x^3 dx-3\int dx$$

$$= 4\sin x+\frac{1}{2}\cdot \frac{x^4}{4}-3x+C.$$

Sljedeći integral rješavamo primjenom osnovnog trigonometrijskog identiteta. Vrijedi

$$\int\frac{ dx}{\sin^2x\cos^2x} = \int\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin^2x\cos^2x} dx$$

$$=\int\frac{ dx}{\cos^2x}+\int\frac{ dx}{\sin^2x}= \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits x-\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits x +C,$$

pri čemu podrazumijevamo da jednakosti vrijede u svim točkama u kojima su sve funkcije definirane. Riješimo još

$$\int \vert x\vert dx.$$

Kada je $x>0$ , tada je

$$\int \vert x\vert dx=\int x dx=\frac{1}{2} x^2 +C \equiv \frac{1}{2}\vert x\vert x+C,$$

a kada je $x<0$ , tada je

$$\int \vert x\vert dx=\int (-x) dx=-\frac{1}{2} x^2 +C \equiv \frac{1}{2}\vert x\vert x+C.$$

Dakle,

$$\int \vert x\vert dx=\frac{1}{2}\vert x\vert x+C,\quad x\neq 0.$$

Definicija i osnovna svojstva     Definicija i osnovna svojstva     Metode supstitucije