×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Parcijalne derivacije     FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     Tangencijalna ravnina

Totalni diferencijal

Neka je zadana funkcija $f$ i točke

$$T_0=(x_1^0,x_2^0,\cdots,x_n^0)\in\mathcal{D}, \qquad T=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in \mathcal{D}.$$

Uvedimo oznake

$$u=f(T),\quad u_0=f(T_0),\qquad \Delta u=u-u_0.$$

Prirast $\Delta x_i=x_i-x_i^0$ još nazivamo i diferencijalom nezavisne varijable $x_i$ i označavamo s $dx_i$ .

Parcijalni diferencijal funkcije $f$ u točki $T_0$ s obzirom na varijablu $x_i$ definiramo kao diferencijal funkcije jedne varijable $f_i$ definirane relacijom (3.1):

$$d_{x_i}f(T_0)\equiv d_{x_i}(u_0)=df_i(x_i^0)=f'_i(x_i^0)dx_i=f'_{x_i}(T_0)dx_i=\frac{\partial f(T_0)}{\partial x_i}dx_i.$$

Definicija 3.9   Neka je funkcija $f$ derivabilna u točki $T_0$ i neka je

$$\rho =d(T_0,T)=\sqrt{(\Delta x_i)^2+\cdots+(\Delta x_n)^2}.$$

Ako je

$$\Delta u=f'_{x_1}(T_0)\Delta x_1+\cdots+f'_{x_n}(T_0)\Delta x_n+ \rho\alpha(\rho)$$

gdje je $\alpha:(0,\infty)\to\mathbb{R}$ funkcija za koju vrijedi

$$\lim_{\rho\to 0}\alpha(\rho)=0,$$

onda je funkcija $f$ diferencijabilna u točki $T_0$ , a funkcija

$$df(T_0)=f'_{x_1}(T_0)dx_1+\cdots+f'_{x_n}(T_0)dx_n$$

je totalni diferencijal (ili kraće diferencijal) funkcije $f$ u točki $T_0$ . Ako je $f$ diferencijabilna u svakoj točki $T\in \mathcal{D}$ , onda je $f$ diferencijabilna funkcija.

Napomena 3.3  

1.

Iz definicije 3.9 vidimo da za malene vrijednosti prirasta $\Delta x_i$ , $i=1,\cdots,n$ , prirast $\Delta u$ možemo aproksimirati diferencijalom $df(T_0)$ ,

2.

Iz same definicije diferencijabilnosti slijedi da je diferencijabilnost jače svojstvo od derivabilnosti: ako je funkcija $f$ diferencijabilna, onda je $f$ i derivabilna, dok obratno ne mora vrijediti.

3.

Funkcija $f$ može biti derivabilna u točki $T_0$ , a da u toj točki nije neprekidna (vidi primjer 3.9), dočim funkcija $f$ koja je diferencijabilna u toćki $T_0$ , nužno mora biti neprekidna u toj točki. Naime, $T\to T_0$ onda i samo onda kad $\Delta x_i\to 0$ za sve $i=1,\cdots,n$ , odnosno onda i samo onda kad $\rho=d(T_0,T)\to 0$ . Zato imamo

$$\lim_{T\to T_0}\Delta u =\lim_ {{\scriptstyle\Delta x_i\to 0 \atop \scriptstyle i=1,\cdots,m}}\Delta u$$

$$=\lim_{{\scriptstyle\Delta x_i\to 0 \atop \scriptstyle i=1,\cdots... ...lta x_1+\cdots+f'_{x_m}(T_0)\Delta x_m\right] +\lim_{\rho\to 0}\rho\alpha(\rho)$$

$$=0.$$

Međutim,

$$\lim_{T\to T_0} \Delta u=0$$

je ekvivalentno s

$$\lim_{T\to T_0}f(T)=f(T_0),$$

odnosno s neprekidnošću funkcije $f$ u točki $T_0$ .

Primjer 3.10   Funkcija

$$f(x,y)=\left\{ \begin{array}{cr} \displaystyle\frac{x^2y}{x^... ...\neq (0,0),\\ 0, &\textrm{za }(x,y)=(0,0), \end{array}\right.$$

je neprekidna na $\mathcal{D}=\mathbb{R}^2$ (vidi primjer 3.4 i sliku 3.22). Također,

$$f'_x(0,0) =\lim_{x\to 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{0-0}{x}=0,$$

$$f'_y(0,0) =\lim_{y\to 0}\frac{f(0,y)-f(0,0)}{y}=\lim_{y\to 0}\frac{0-0}{y}=0,$$

što znači da je $f$ derivabilna u točki $(0,0)$ . Međutim $f$ nije diferencijabilna u točki $(0,0)$ . Naime, vrijedi

$$\Delta x=x-0=x, \qquad \Delta y=y-0=y,$$

odnosno,

$$\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}=\sqrt{x^2+y^2} \quad \to\quad 0\qquad \Leftrightarrow\qquad x\to 0, y\to 0.$$

Zato je

$$\lim_{\rho\to 0}\alpha(\rho) =\lim_{\rho\to 0}\frac{\Delta f(0,0) -[f'_x(0,0)dx+f'_y(0,0)dy]}{\rho}$$

$$=\lim_{\rho\to 0}\frac{f(x,y)-f(0,0)}{\rho}$$

$$=\lim_{x\to 0,y\to 0} \frac{x^2y}{(x^2+y^2)^\frac{3}{2}}$$

Za nizove točaka $((1/n,c/n), n\in \mathbb{N})$ koji konvergiraju u $(0,0)$ za sve $c\in\mathbb{R}$ imamo

$$\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n^2}\cdot\frac{c}{n}}{\left(\frac... ...\lim_{n\to\infty}\frac{c}{(1+c^2)^\frac{3}{2}} =\frac{c}{(1+c^2)^\frac{3}{2}},$$

što je zavisno od $c$ pa zaključujemo da $$\lim_{\rho\to 0}\alpha(\rho)$$ ne postoji i zato $f$ nije diferencijabilna u točki $(0,0)$ .

Funkcija $f$ iz prethodnog primjera je u točki $(0,0)$ neprekidna i derivabilna, ali nije diferencijabilna. Parcijalne derivacije $f'_x$ i $f'_y$ nisu neprekidne u toj točki. Analizu ovakvih slučajeva nam olakšava sljedeći teorem kojega navodimo bez dokaza:

Teorem 3.4   Ako postoji okolina $K(T,\delta)$ točke $T$ takva da je $f$ derivabilna na $K(T,\delta)$ , te ako su sve parcijalne derivacije $f'_{x_i}$ , $i=1,\cdots,n$ neprekidne u točki $T$ , onda je funkcija $f$ diferencijabilna u točki $T$ .

Iz svega dosad rečenog vidimo da postoji bitna razlika između funkcija jedne varijable i funkcija više varijabla. Naime, za funkciju jedne varijable vrijedi

i.

$f$ je derivabilna u točki $x$      $\Leftrightarrow$      $f$ je diferencijabilna u točki $x$ ,

ii.

$f$ je derivabilna (diferencijabilna) u točki $x$      $\Rightarrow$      $f$ je neprekidna u točki $x$ ,

dočim za funkciju $f$ od $n>1$ varijabla vrijede sljedeće implikacije:

i.

$f$ je diferencijabilna u točki $T$      $\Rightarrow$      $f$ je derivabilna u točki $T$ ,

ii.

$f$ je neprekidno derivabilna u točki $T$      $\Rightarrow$      $f$ je diferencijabilna u točki $T$ ,

iii.

$f$ je diferencijabilna u točki $T$      $\Rightarrow$      $f$ je neprekidna u točki $T$ .

Parcijalne derivacije     FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     Tangencijalna ravnina