×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Tangencijalna ravnina     FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     Totalni diferencijal višeg reda

Parcijalne derivacije kompozicije funkcija

Prisjetimo se formule za derivaciju kompozicije funkcija jedne varijable

$$\left[g(f(x)) \right]'=g'(f(x))f'(x).$$

Kada imamo funkcije više varijabla, tada za računanje parcijalnih derivacija složene funkcije (kompozicije funkcija) vrijedi analogno pravilo, dakako uz nešto kompliciraniji zapis.

Teorem 3.5   Neka su zadane funkcije

$$\varphi_1,\cdots,\varphi_k:\mathcal{D}\to\mathbb{R}, \qquad \mathcal{D}\subseteq \mathbb{R}^n,$$

$$f:X\to\mathbb{R}, \qquad X\subseteq \mathbb{R}^k,$$

pri čemu je

$$\varphi_1[D]\times\cdots\times\varphi_k[D]\subseteq X.$$

Tada možemo definirati kompoziciju $F=f\circ(\varphi_1,\cdots,\varphi_k):\mathcal{D}\to \mathbb{R}$ formulom

$$F(x_1,\cdots,x_n)=f(\varphi_1(x_1,\cdots,x_n), \cdots,\varphi_k(x_1,\cdots,x_n)),\quad (x_1,\cdots,x_n)\in D.$$

Ako su funkcije $\varphi_1,\cdots,\varphi_k$ i $f$ diferencijabilne, onda je i funkcija $F$ također diferencijabilna, a njene parcijalne derivacije dane su formulom

$$\frac{\partial F}{\partial x_i}=\sum_{j=1}^k\frac{\partial f}{\partial u_j} \cdot\frac{\partial \varphi_j}{\partial x_i},\qquad i=1,\cdots,n,$$

gdje je $u_j=\varphi_j(x_1,\cdots,x_n)$ , $j=1,\cdots,k$ .

Primjer 3.13   Neka su zadane diferencijabilne funkcije

$$\varphi :\mathcal{D}\to [a,b], \psi :\mathcal{D}\to [c,d], \mathcal{D}\subseteq \mathbb{R}^3,$$

$$f : [a,b] \times [c,d] \to \mathbb{R}$$

i neka je

$$F(x,y,z)=f(\varphi(x,y,z),\psi(x,y,z)), (x,y,z)\in D.$$

Uvedemo li oznake $u=\varphi(x,y,z)$ i $v=\psi(x,y,z)$ , onda prema prethodnom teoremu imamo

$$F'_x =f'_u\cdot\varphi'_x+f'_v\cdot\psi'_x,$$

$$F'_y =f'_u\cdot\varphi'_y+f'_v\cdot\psi'_y,$$

$$F'_z =f'_u\cdot\varphi'_z+f'_v\cdot\psi'_z.$$

Napomena 3.5   Ako je funkcija $F$ zadana kao u teoremu 3.5, onda je njen diferencijal jednak

$$dF(x_1, \cdots,x_m) =\sum_{i=1}^mF'_{x_i}(x_1, \cdots,x_m)dx_i$$

$$=\sum_{i=1}^m\left(\sum_{j=1}^kf'_{u_j}(u_1,\cdots,u_k)\cdot (\varphi_j)'_{x_i}(x_1, \cdots,x_m)\right)dx_i$$

$$=\sum_{j=1}^kf'_{u_j}(u_1,\cdots,u_k)\cdot\left(\sum_{i=1}^m(\varphi_j)'_{x_i} (x_1, \cdots,x_m)dx_i\right)$$

$$=\sum_{j=1}^kf'_{u_j}(u_1,\cdots,u_k)du_j$$

$$=df(u_1,\cdots,u_k).$$

Zadatak 3.8   Neka su, uz oznake kao u primjeru 3.13, zadane funkcije $f(u,v)=u^2 v$ , $\varphi (x,y,z)=xyz$ i $\psi(x,y,z)=x+ \cos \displaystyle \frac{y}{z}$ .

a)

Izračunjte $F'_x$ direktno i pomoću formula iz primjera 3.13.

b)

Provjerite za ovu funkciju formule iz napomene 3.5.

Tangencijalna ravnina     FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     Totalni diferencijal višeg reda