×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Singularna rješenja i ovojnice     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Linearne diferencijalne jednadžbe prvog

Egzaktne jednadžbe i integrirajući faktori

Diferencijalna jednadžba oblika

$$P(x,y) dx+Q(x,y) dy=0$$ (5.4)

je egzaktna ako je

$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.$$ (5.5)

U tom slučaju postoji funkcija $F(x,y)$ takva da je

$$dF(x,y)=P(x,y) dx+ Q(x,y) dy$$ (5.6)

pa je rješenje jednadžbe dano s

$$F(x,y)=C.$$

Opišimo postupak nalaženja funkcije $F$ . Ukoliko navedena funkcija $F$ postoji, onda je $\partial F/ \partial x=P$ , odnosno

$$F(x,y)=\int P(x,y) dx+\varphi (y),$$

pri čemu je $\varphi (y)$ neka funkcija od $y$ . Nadalje,

$$\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y} \int P(x,y) dx+ \varphi '(y)=Q(x,y)$$

pa je

$$\varphi '(y)=Q(x,y)-\frac{\partial}{\partial y} \int P(x,y) dx.$$

Izraz na desnoj strani prethodne jednakosti je funkcija od $y$ jer uvjet (5.5) povlači

$$\frac{\partial}{\partial x}\left[Q(x,y)-\frac{\partial}{\partial y} \int P(x,y) dx\right] = \frac{\partial}{\partial x}Q(x,y) - \frac{\partial^2}{ \partial x\partial y}\int P(x,y) dx$$

$$=\frac{\partial}{\partial x}Q(x,y) - \frac{\partial}{\partial y} P(x,y)= 0.$$

Dakle,

$$\varphi (y)=\int \left[ Q(x,y) dy- \frac{\partial}{\partial y} \int P(x,y) dx\right] dy$$

pa je konačno

$$F(x,y)=\int P(x,y) dx+\int \left[ Q(x,y) dy- \frac{\partial}{\partial y} \int P(x,y) dx\right] dy.$$

Kako je

$$\frac{\partial}{\partial x}F(x,y) =P(x,y),$$

$$\frac{\partial}{\partial y}F(x,y) =\frac{\partial}{\partial y} \int P(x,y) dx+ Q(x,y) - \frac{\partial}{\partial y}\int P(x,y) dx= Q(x,y),$$

funkcija $F$ zaista zadovoljava jednakost (5.6).

Primjer 5.16   Diferencijalna jednadžba

$$(2x+2y^2) dx+ (4xy+3y^2) dy=0$$

je egzaktna jer je

$$\frac{\partial}{\partial y} (2x+2y^2)=4y=\frac{\partial}{\partial x}(4xy+3y^2).$$

Vrijedi

$$F(x,y)=\int (2x+2y^2) dx+ \varphi (y)= x^2+2xy^2 +\varphi (y).$$

Dalje je

$$\frac{\partial}{\partial y}F(x,y)=4xy+\varphi '(y)=4xy+3y^2$$

pa je $\varphi '(y)=3y^2$ , odnosno $\varphi (y)=y^3$ . Stoga je rješenje zadane jednadžbe

$$x^2+2xy^2 +y^3=C.$$

Zadatak 5.10   Riješite diferencijalne jednadžbe:

a)

$y' (4xy+3y^2) + 2x+2y^2+1=0$ , uz uvjet $y(0)=-1$ ,

b)

$\left(x+e^{x/y}\right) dx+ \left(1-\displaystyle \frac{x}{y}\right) e^{x/y} dy =0$ ,

c)

$y'=\displaystyle \frac{\sin y}{x\cos y}$ , uz uvjet $y(1)=\pi/4$ .

Za neke jednadžbe oblika (5.4) koje nisu egzaktne, postoji funkcija $\mu(x,y)$ takva da je jednadžba

$$\mu(x,y) P(x,y) dx+ \mu(x,y) Q(x,y) dy= 0$$ (5.7)

egzaktna. U tom slučaju, umjesto zadane jednadžbe (5.4), možemo riješiti novu jednadžbu. Funkcija $\mu$ je integrirajući faktor ili Eulerov multiplikator. Ako je jednadžba (5.7) egzaktna, onda je $(\mu P)'_y=(\mu Q)'_x$ pa je

$$\mu'_y P +\mu P'_y=\mu'_x Q+\mu Q'_x,$$

odnosno

$$\mu'_y P- \mu'_x Q=\mu(Q'_x-P'_y).$$

Ovo je parcijalna diferencijalna jednadžba koja može biti i složenija od polaznog problema. Stoga nalaženje integrirajućeg faktora općenito nije jednostavno. No, kada je integrirajući faktor funkcija samo jedne varijable ($x$ ili $y$ ), tada je postupak sljedeći: ako je $\mu=\mu(x)$ , onda je $\mu'_y=0$ pa je

$$-\mu'_xQ=\mu(Q'_x-P'_y),$$

odnosno

$$\frac{d\mu}{\mu}=\frac{P'_y-Q'_x}{Q} dx.$$

Dakle, $\mu=\mu(x)$ možemo naći ukoliko je kvocijent na desnoj strani funkcija od $x$ . Slično, ako je $\mu=\mu(y)$ , onda je $\mu'_x=0$ pa je

$$\frac{d\mu}{\mu}=\frac{Q'_x-P'_y}{P} dy,$$

ukoliko je kvocijent na desnoj strani funkcija od $y$ .

Primjer 5.17   Riješimo jednadžbu

$$(x^2-y^2) dx+2xy dy=0.$$

Kako je $P=x^2-y^2$ i $Q=2xy$ te $P'_y=-2y$ i $Q'_x=2y$ , jednadžba nije egzaktna. Iz

$$\frac{P'_y-Q'_x}{Q} = -\frac{4y}{2xy}=-\frac{2}{x}$$

zaključujemo da je $\mu=\mu(x)$ . Imamo

$$\frac{d\mu}{\mu} =-\frac{2}{x} dx,$$

$$\ln\vert\mu\vert = \ln\vert x\vert^{-2} +\ln C,$$

$$\mu = \frac{C}{x^2}.$$

Možemo uzeti bilo koji integrirajući faktor pa odaberimo $C=1$ , odnosno $\mu=1/x^2$ . Množenje polazne jednadžbe s integrirajućim faktorom daje egzaktnu diferencijalnu jednadžbu (provjerite)

$$\frac{x^2-y^2}{x^2} dx+\frac{2y}{x} dy=0.$$

Postupak opisan na početku poglavlja daje:

$$F(x,y) =\int\left(1-\frac{y^2}{x^2}\right) dx+\varphi (y)=x+\frac{y^2}{x}+\varphi (y),$$

$$F'_y(x,y) =\frac{2y}{x}+\varphi '(y)=\frac{2y}{x}.$$

Dakle,

$$\varphi '(y)=0,\qquad \varphi (y)=C$$

pa je rješenje zadane jednadžbe dano s

$$x+\frac{y^2}{x}=C.$$

Zadatak 5.11   Riješite diferencijalne jednadžbe:

a)

$y+(y^2-x) y'=0$ ,

b)

$(x+y^3) dy-y dx=0$ , uz uvjet $y(1)=1$ ,

c)

$(6x^3y+3y^2) dx+ (2x^4+6xy\ln x) dy=0$ .

Singularna rješenja i ovojnice     DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE     Linearne diferencijalne jednadžbe prvog