Derivacija funkcije jedne varijable zadane implicitno

Odredite derivaciju prvog i drugog reda funkcije $\displaystyle y=f(x)$ zadane implicitno sa $\displaystyle z(x,y)=y-2x\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \frac{y}{x}=0$ .

Rješenje.

Deriviranjem jednakosti $\displaystyle z\left( x,y\right) =0$ po varijabli dobivamo

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dx}=0$ ,

iz čega slijedi

$\displaystyle y^{\prime}=\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial z}{\partial x}}{\frac{\partial z}{\partial y}}$ .

Izračunajmo najprije parcijalne derivacije funkcije po varijablama i . Vrijedi

$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}\left( x,y\right)$	$\displaystyle = -2\left(\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \frac{y}{x}-\frac{y}{x... ...-2\left(\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \frac{y}{x}-\frac{xy}{x^2+y^2}\right),$
$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}\left( x,y\right)$	$\displaystyle = \frac{y^2-x^2}{x^2+y^2}.$

Sada je

$\displaystyle y^{\prime}=\frac{-2\left(\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \frac{y}{x}-\frac{xy}{x^2+y^2}\right)}{\frac{y^2-x^2}{x^2+y^2}}.$

Iz jednakosti $\displaystyle y-2x\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \frac{y}{x}=0$ slijedi $\displaystyle \mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \frac{y}{x}=\frac{y}{2x}$ . Uz tu zamjenu, sređivanjem izraza za $\displaystyle y^{\prime}$ dobivamo $\displaystyle y^{\prime}=\frac{y}{x}$ . Za drugu derivaciju funkcije $\displaystyle y=f(x)$ vrijedi

$\displaystyle y^{\prime \prime}=\left(\frac{y}{x}\right)^{\prime}=\frac{y^{\prime} x-y}{x^2}=\frac{\frac{y}{x}\cdot x-y}{x^2}=0.$

Parcijalne derivacije složene funkcije FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA Parcijalne derivacije funkcije dviju