×   HOME
SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS
SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA
SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA
JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...
☰   matematika2
Problem vezanog ekstrema     FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     Primjena vezanog ekstrema, 2.


Primjena vezanog ekstrema, 1. primjer

Uz pomoć vezanih ekstrema izračunajte maksimalni obujam stošca upisanog u kuglu polumjera $ 1$ .

Rješenje.

Obujam stošca računamo s pomoću formule

$\displaystyle V=\frac{1}{3}r^2\pi v$,    

gdje je $ r$ polumjer baze stošca, a $ v$ visina stošca. Budući da je jednakokračni trokut osnovice $ 2r$ i visine $ v$ upisan u kružnicu polumjera $ 1$ (slika 3.13), vrijednosti $ r$ i $ v$ povezane su izrazom

$\displaystyle v=1+\sqrt{1-r^2}$.    

Slika: Proizvoljni stožac upisan u kuglu polumjera $ 1$ - projekcija.
\begin{figure} \begin{center} \epsfig{file=sl14_ekstremi.eps, width=8cm} \end{center} \end{figure}

Pišimo $ x$ i $ y$ umjesto $ r$ i $ v$ . Želimo riješiti problem vezanog ekstrema

\begin{displaymath} \begin{cases} \displaystyle V(x,y)=\frac{1}{3}x^2\pi y\to ... ...t{}\\ \varphi (x,y)=1+\sqrt{1-x^2}-y=0&\text{} \end{cases} \end{displaymath}

Pridružena Lagrangeova funkcija ( [*][M2, poglavlje 3.12]) je

$\displaystyle L(x,y,\lambda )=\frac{1}{3}x^2\pi y+\lambda (1+\sqrt{1-x^2}-y)$,$\displaystyle \quad (x,y)\in\mathcal{D}=(0,1)\times (0,2)$    

Nuždan uvjet ekstrema glasi

$\displaystyle L'_x$ $\displaystyle =\frac{2\pi}{3}xy-\lambda \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}=0$,    
$\displaystyle L'_y$ $\displaystyle =\frac{\pi}{3}x^2-\lambda =0$,    
$\displaystyle L'_{\lambda}$ $\displaystyle =1+\sqrt{1-x^2}-y=0$.    

Iz druge jednadžbe slijedi $ \displaystyle \lambda =\frac{\pi}{3}x^2$ . Uvrstimo li taj izraz u prvu jednadžbu, dobijemo

$\displaystyle \frac{2\pi}{3}xy=\frac{\pi}{3}\frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}}$,    

odnosno $ \displaystyle y=\frac{x^2}{2\sqrt{1-x^2}}$ . Sada iz treće jednadžbe dobijemo

  $\displaystyle 1+\sqrt{1-x^2}-\frac{x^2}{2\sqrt{1-x^2}}=0\quad\quad / \cdot 2\sqrt{1-x^2}\quad(x\in(0,1))$    
  $\displaystyle 2\sqrt{1-x^2}+2-2x^2-x^2=0$    
  $\displaystyle 2\sqrt{1-x^2}=3x^2-2\quad\quad /^2$    
  $\displaystyle 4-4x^2=9x^4-12x^2+4$    
  $\displaystyle 9x^4-8x^2=0$    
  $\displaystyle x^2(9x^2-8)=0$    

Zbog $ (x,y)\in\mathcal{D}=(0,1)\times (0,2)$ je $ x=\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}$ i $ y=\displaystyle \frac{x^2}{2\sqrt{1-x^2}}=\frac{4}{3}$ . Iz geometrijskih razloga jasno je da se radi o točki u kojoj funkcija $ V$ dostiže maksimum. Dakle, među svim stošcima upisanim u kuglu polumjera $ 1$ , stožac s visinom $ v=\displaystyle \frac{4}{3}$ i polumjerom baze $ r=\displaystyle \frac{2\sqrt{2}}{3}$ ima najveći obujam, $ \displaystyle V=\frac{32\pi}{81}$ .

Problem vezanog ekstrema     FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA     Primjena vezanog ekstrema, 2.