Primjena vezanog ekstrema, 2. primjer

U ravnini pronađite točku za koju je zbroj kvadrata udaljenosti od ravnina i najmanji.

Rješenje.

Označimo s traženu točku. Udaljenosti točke od dviju zadanih ravnina dane su respektivno s

$\displaystyle d_1=\frac{\vert x_0+3z_0-6\vert}{\sqrt {10}}$ i $\displaystyle \quad \quad d_2=\frac{\vert y_0+3z_0-2\vert}{\sqrt{10}}$ .

Prema tome, budući da koordinate točke

zadovoljavaju jednadžbu ravnine

, Lagrangeova funkcija (

[M2, poglavlje 3.12]) je dana sa

$\displaystyle L(x_0,y_0,z_0,\lambda )=\frac{1}{10}\left(x_0+3z_0-6\right)^2+\frac{1}{10}\left(y_0+3z_0-2\right)^2+\lambda\left(x_0+y_0-2z_0\right)$ ,

odnosno sa

$\displaystyle L(x,y,z,\lambda )=\frac{1}{10}\left(x+3z-6\right)^2+\frac{1}{10}\left(y+3z-2\right)^2+\lambda\left(x+y-2z\right)$ .

Nužan uvjet ekstrema glasi

$\displaystyle L'_x$	$\displaystyle =\frac{1}{5}\left(x+3z-6\right)+\lambda=0$ ,
$\displaystyle L'_y$	$\displaystyle =\frac{1}{5}\left(y+3z-2\right)+\lambda =0$ ,
$\displaystyle L'_z$	$\displaystyle =\frac{3}{5}\left(x+3z-6\right)+\frac{3}{5}\left(y+3z-2\right)-2\lambda =0$ ,
$\displaystyle L'_{\lambda}$	$\displaystyle =x+y-2z=0$ .