☰ matematika2

Primjena vezanog ekstrema, 2. FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA Rješenja zadataka za vježbu

Zadaci za vježbu

1.

Odredite i skicirajte područje definicije funkcija:

a): $z(x,y)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$ ,
b): $z(x,y)=\displaystyle \frac{xy+1}{x^2-y}$ ,
c): $z(x,y)=\ln(x^2+y)$ ,
d): $z(x,y)=\displaystyle \mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \frac{x-y}{1+x^2y^2}$ ,
e): $z(x,y)=\displaystyle \arccos\frac{x}{x+y}$ ,
f): $z(x,y)=\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}$ ,
g): $z(x,y)=\sqrt{(1-x^2-y^2) (4-x^2-y^2)}$ ,
h): $z(x,y)=\sqrt{y \sin x}$ ,
i): $z(x,y)=\displaystyle \ln\left[x \ln(y-x)\right]$ .

2.

Odredite parcijalne derivacije prvog reda funkcija:

a): $\displaystyle z(x,y)=\arcsin \frac{x}{y}$ ,
b): $\displaystyle u(x,y,z)=x^{y^z}$ .

3.

Odredite parcijalne derivacije drugog reda funkcija:

a): $\displaystyle f(x,y)=\ln (x^2+y)$ ,
b): $\displaystyle f(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ .

4.

Za funkciju $u(x,y,z)=e^{xyz}$ odredite $\displaystyle \frac{\partial^3u}{\partial x^3}, \frac{\partial^3u}{\partial y^3} \textrm{ i } \frac{\partial^3u}{\partial z^3}$ .

5.

Odredite $\displaystyle \frac{\partial^2z}{\partial y \partial x }$ , ako je $z(x,y)=\sqrt{2xy+y^2}$ .

6.

Odredite $\displaystyle \frac{\partial^3z}{\partial^2 x \partial y }$ , ako je $z(x,y)=x \ln (xy)$ .

7.

Riješite parcijalnu diferencijalnu jednadžbu $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}=2x+y$ .

8.

Riješite parcijalnu diferencijalnu jednadžbu $\displaystyle \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=2$ uz uvjete $\displaystyle z(x,0)=1$ i $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}(x,0)=x$ .

9.

Odredite totalni diferencijal prvog reda funkcije $\displaystyle z(x,y)=\ln \left(1+\frac{x}{y}\right)$ .

10.

Odredite totalni diferencijal drugog reda funkcije $\displaystyle z(x,y)=x\ln \frac{x}{y}$ .

11.

Odredite derivaciju $\displaystyle \frac{dz}{dt}$ ako je:

a): $z(x,y)=\displaystyle \arcsin \left( x-y\right)$ , , $y=4t^{3}$ ,
b): $z(x,y)=\displaystyle \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \left( 3t+2x^{2}-y\right)$ , $\displaystyle x=\frac{1}{t}$ , $y=\sqrt{t}$ .

12.

Odredite parcijalne derivacije $\displaystyle \frac{\partial z}{ \partial u}$ i $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial v}$ ako je:

a): $\displaystyle z(x,y)=\sin xy+\frac{1}{1+x^{2}+y^{2}}$ , , $y=\frac{u}{v}$ ,
b): $z(x,y)=\displaystyle \mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \frac{x}{y}$ , $x=u\sin v$ , $y=u\cos v$ .

13.

Odredite derivaciju prvog i drugog reda funkcije $\displaystyle y=f\left( x\right)$ zadane implicitno sa $\displaystyle \left( x^{2}+y^{2}\right) ^{3}-3\left( x^{2}+y^{2}\right) +1$ .

14.

Odredite parcijalne derivacije prvog reda funkcije $\displaystyle z=f\left( x,y\right)$ zadane implicitno sa $\displaystyle e^{z}-xyz=0$ .

15.

Odredite totalni diferencijal prvog reda funkcije $\displaystyle z=f\left( x,y\right)$ zadane implicitno s $\displaystyle x+y+z=xyz$ .

16.

Odredite tangencijalnu ravninu i normalu na plohu $z= \displaystyle \mathop{\mathrm{arctg}}\frac{y}{x}$ u točki $T=(1,1,z_{0})$ .

17.

Odredite lokalne ekstreme funkcije

18.

Odredite lokalne ekstreme funkcije

a): $f(x,y)=\sin x+\sin y+\cos(x+y)$ za $\displaystyle x,y\in\left( 0,\frac{\pi}{2}\right)$ ,
b): $f(x,y)=\sin x+\cos y+\cos(x-y)$ za $\displaystyle x,y\in\left( 0,\frac{\pi}{2}\right)$ .

19.