☰ matematika2

Eliptične koordinate u dvostrukom VIŠESTRUKI INTEGRALI Volumen tijela, 1. primjer

Površina ravninskog lika

Izračunajte površinu lika

$\displaystyle S=\left\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : \frac{(x-2)^2}{9}+\frac{(y+1)^2}{4}\leq 1, y\geq 0\right\}$ .

Rješenje.

Površina područja , prema [M2, poglavlje 4.2.1], računa se po formuli

$\displaystyle P(S)=\iint\limits_S dx dy$ .

**Slika:** Područje integracije $S=\left \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 : \frac {(x-2)^2}{9}+\frac {(y+1)^2}{4}\leq 1, y\geq 0\right \}$ .
$\begin{figure} \begin{center} \epsfig{file=sl20_dvostruki_integral1.eps, width=8cm} \end{center} \end{figure}$

Budući je područje (slika 4.6) određeno pravcem i elipsom koja nije centralna, prijeđimo na eliptične koordinate u pomaknutom koordinatnom sustavu:

$\displaystyle \frac{x-p}{a}=r\cos\varphi \quad\Rightarrow\quad x=p+ar\cos\varphi\quad\Rightarrow\quad x=2+3r\cos\varphi$ ,

odnosno

$\displaystyle \frac{y-q}{b}=r\sin\varphi\quad\Rightarrow\quad y=q+br\sin\varphi\quad\Rightarrow\quad y=-1+2r\sin\varphi$ .

Za ovakvu zamjenu varijabli Jakobijan je

pa je

$\displaystyle P(S)=\iint\limits_S dx dy= \iint\limits_{S_{\varphi r}} r ... ..._{\varphi_A}^{\varphi_B} d\varphi\int\limits_{r_{pravca}}^{r_{elipse}} r dr$ .

Jednadžba elipse je

$\displaystyle \frac{(x-2)^2}{9}+\frac{(y+1)^2}{4}=1\quad\Rightarrow\quad r_{elipse}=1$ ,

a jednadžba pravca je

$\displaystyle y=0\quad\Rightarrow\quad -1+2r\sin\varphi=0\quad\Rightarrow\quad r_{pravca}=\frac{1}{2\sin\varphi}$ .

Još nam trebaju granične vrijednosti za $\varphi$ . Izračunajmo najprije presječne točke

elipse i pravca. Dobijemo ih rješavanjem sustava

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{c} \frac{(x-2)^{2}}{9}+\frac{(y+1)^{2}}{4}=1, y=0. \end{array} \right.$

Iz $(x-2)^{2}=\frac{27}{4}$ slijedi $x_{1,2}=2\pm \frac{3\sqrt{3}}{2}$ , pa su presječne točke $A\left(2+\frac{3\sqrt 3}{2},0\right)$ i $B\left(2-\frac{3\sqrt 3}{2},0\right)$ . Za vrijednosti $\varphi _A$ i $\varphi _B$ vrijedi

$\displaystyle \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \varphi _{A}$	$\displaystyle =\frac{\sin \varphi _{A}}{\cos \varphi _{A}}=\frac{\frac{ y_{A}+... ...{3} }{2}-2}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \varphi _{A}=\frac{\pi }{6},$
$\displaystyle \mathop{\mathrm{tg}}\nolimits \varphi _{B}$	$\displaystyle =\frac{\frac{y_{B}+1}{2}}{\frac{x_{B}-2}{3}}=\frac{\frac{0+1 }{2... ...{3}}{2}-2}{3}}=-\frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \ \varphi _{A}=\frac{5\pi }{6}$ .

Primijetimo da vrijednosti $\varphi _A$ i $\varphi _B$ nisu kutovi koje dužine $\overline{O^{\prime} A}$ odnosno $\overline{O^{\prime}B}$ zatvaraju s pozitivnim dijelom osi $O^{\prime } x$ . Sada je

$\displaystyle P(S)$	$\displaystyle = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{5\pi }{6}} d\varphi \int\... ...t) \underset{\frac{1}{2\sin \varphi}} {\overset{1} {\bigg\vert}} d\varphi$
	$\displaystyle =\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{5\pi }{6}}\left( 3-\frac{3}{... ...hi \right) \underset{\frac{\pi}{6}} {\overset{\frac{5\pi}{6}} {\bigg\vert}}$
	$\displaystyle = 3\frac{5\pi }{6}-3\frac{\pi }{6}+\frac{3}{4}\mathop{\mathrm{ctg... ...mits \frac{5\pi }{6}- \frac{3}{4}\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits \frac{\pi }{6}$
	$\displaystyle =2\pi -\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{3\sqrt{3}}{4}=2\pi -\frac{3\sqrt{3}}{2}$ .

Eliptične koordinate u dvostrukom VIŠESTRUKI INTEGRALI Volumen tijela, 1. primjer