×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 Rekurzivne formule     NEODREĐENI INTEGRAL     Integriranje trigonometrijskih funkcija

Integriranje racionalnih funkcija

Izračunajte integrale:

a)

$$\int \frac{ dx}{x^{2}+5x}$$ ,

b)

$$\int \frac{ dx}{2x^{2}-5x+7}$$ ,

c)

$$\int \frac{x-1}{x^{2}-x+1} dx$$ ,

d)

$$\int \frac{3x-2}{2x^{2}-3x+4} dx$$ ,

e)

$$\int \frac{x^{3}+x+2}{x^{2}+7x+12} dx$$ ,

(f)

$$\int \frac{1}{\left( 1+x^{2}\right) ^{2}} dx$$ .

Rješenje.

a)

Polinom u nazivniku može se rastaviti na faktore $x^{2}+5x=x\left( x+5\right)$ , pa tablične integrale dobivamo rastavom na parcijalne razlomke [M2, poglavlje 1.4.3]. Vrijedi

$$\int \frac{ dx}{x^{2}+5x} =\int \frac{ dx}{x\left( x+5\right) }$$

$$=\left\{ \begin{array}{c} \frac{1}{x\left( x+5\right) }=\frac{A}{... ...+5\right) 1=Ax+5A+Bx A=\frac{1}{5} B=-\frac{1}{5} \end{array} \right\}$$

$$=\frac{1}{5}\int \frac{ dx}{x}-\frac{1}{5}\int \frac{ dx}{x+5}$$

$$=\frac{1}{5}\ln \left\vert x\right\vert -\frac{1}{5}\ln \left\vert x+5\right\vert +C=\frac{1}{5}\ln \left\vert \frac{x}{x+5}\right\vert +C.$$

b)

Polinom $2x^{2}-5x+7$ nema realnih nul-točaka, pa nazivnik ne možemo rastaviti na faktore. U tom slučaju integral računamo nadopunjavanjem nazivnika do punog kvadrata na slijedeći način:

$$\int \frac{ dx}{2x^{2}-5x+7} =\frac{1}{2}\int \frac{ dx}{x^{2}-\frac{5}{2}x+ \frac{7}{2}}=\fr... ...2}\int \frac{ dx}{\left( x-\frac{5}{4}\right) ^{2}- \frac{25}{16}+\frac{7}{2}}$$

$$=\frac{1}{5}\int \frac{d\left( x-\frac{5}{4}\right) }{\left( x-\frac{5}{4} \right) ^{2}+\frac{31}{16}}$$

$$=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{\frac{31}{16}}}\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \frac{x- \frac{5}{4}}{\sqrt{\frac{31}{16}}}+C$$

$$=\frac{2}{\sqrt{31}}\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \frac{4x-5}{\sqrt{31}}+C.$$

c)

Nazivnik se ni u ovom primjeru ne može rastaviti na faktore pa integral računamo zaspisivanjem brojnika u dva dijela od kojih je jedan derivacija nazivnika, a drugi konstanta. Time dobivamo dva integrala od kojih se prvi može izračunati metodom supstitucije (zadatak 1.2) ili uvođenjem novog argumenta (zadatak 1.3), dok drugi računamo kao u ovom zadatku pod $b)$ :

$$\int \frac{x-1}{x^{2}-x+1} dx =\int \frac{\frac{1}{2}\left( 2x-1\right) + \frac{1}{2}-1}{x^{2}-x+1} dx=\int \frac{\frac{1}{2}\left( 2x-1\right) -\frac{1 }{2}}{x^{2}-x+1} dx$$

$$=\frac{1}{2}\int \frac{\left( 2x-1\right) -1}{x^{2}-x+1} dx$$

$$=\frac{1}{2}\int \frac{2x-1}{x^{2}-x+1} dx-\frac{1}{2}\int \frac{ dx}{ x^{2}-x+1}$$

$$=\frac{1}{2}\int \frac{d\left( x^{2}-x+1\right) }{x^{2}-x+1}-\frac{1}{2} \int \frac{ dx}{\left( x-\frac{1}{2}\right) ^{2}-\frac{1}{4}+1}$$

$$=\frac{1}{2}\ln \left\vert x^{2}-x+1\right\vert -\frac{1}{2}\frac{2}{\sqrt{ 3}}\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \frac{2x-1}{\sqrt{3}}+C.$$

d)

Vrijedi

$$\int \frac{3x-2}{2x^{2}-3x+4} dx =\int \frac{3\left( x-\frac{2}{3}\right) }{ 2\left( x^{2}-\frac{3... ...+2\right) } dx=\frac{3}{2}\int \frac{x-\frac{2}{3}}{ x^{2}-\frac{3}{2}x+2} dx$$

$$=\frac{3}{2}\int \frac{\frac{1}{2}\left( 2x-\frac{3}{2}\right) +\... ...rac{1}{2} \left( 2x-\frac{3}{2}\right) +\frac{1}{12}}{x^{2}-\frac{3}{2}x+2} dx$$

$$=\frac{3}{2}\frac{1}{2}\int \frac{2x-\frac{3}{2}}{x^{2}-\frac{3}{2}x+2} dx+ \frac{3}{2}\frac{1}{12}\int \frac{ dx}{x^{2}-\frac{3}{2}x+2}$$

$$=\frac{3}{4}\int \frac{d\left( x^{2}-\frac{3}{2}x+2\right) }{x^{2... ...}+\frac{1}{8}\int \frac{ dx}{\left( x-\frac{3}{4}\right) ^{2}-\frac{9}{ 16}+2}$$

$$=\frac{3}{4}\ln \left( x^{2}-\frac{3}{2}x+2\right) +\frac{1}{8}\frac{4}{ \sqrt{23}}\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits \frac{4x-3}{\sqrt{23}}+C.$$

e)

Kako je u ovom integralu stupanj brojnika podintegralne funkcije veći od stupnja nazivnika, prvo provodimo dijeljenje polinoma, a zatim integral rastavljamo na dva, od kojih je prvi tablični integral potencije, a drugi se svodi na neki od prethodnih slučajeva.

$$I =\int \frac{x^{3}+x+2}{x^{2}+7x+12} dx=$$

$$=\left\{ \begin{array}{c} \left( x^{3}+x+2\right) :\left( x^{2}+7x+12\right) =x-7 \vdots ost.38x+86 \end{array} \right\}$$

$$=\int \left( x-7\right) dx+\int \frac{38x+86}{x^{2}+7x+12} dx=\frac{x^{2}}{2 }-7x+I_{1}$$

Integral označen sa $I_{1}$ računamo posebno. Kako su $x_{1}=-3$ i $x_{1}=-4$ nultočke polinoma $x^{2}+7x+12$ , nazivnik se može rastaviti na faktore, pa tablične integrale dobivamo rastavom na parcijalne razlomke.

$$\int \frac{38x+86}{x^{2}+7x+12} dx =\int \frac{38x+86}{\left( x+3\right) \left( x+4\right) } dx$$

$$=\left\{ \begin{array}{c} \frac{1}{\left( x+3\right) \left( x+4\right) }=\frac{A}{x+3}+\frac{B}{x+4} A=-28 B=66 \end{array} \right\}$$

$$=-28\int \frac{d\left( x+3\right) }{x+3}+66\int \frac{d\left( x+4\right) }{ x+4}$$

$$=-28\ln \left\vert x+3\right\vert +66\ln \left\vert x+4\right\vert +C.$$

Konačno rješenje je

$$I=\int \frac{x^{3}+x+2}{x^{2}+7x+12} dx=\frac{x^{2}}{2}-7x-28\ln \left\vert x+3\right\vert +66\ln \left\vert x+4\right\vert +C.$$

(f)

Slijedeći integral računamo dodavanjem i oduzimajnem $x^{2}$ u brojniku, pa vrijedi

$$\int \frac{1}{\left( 1+x^{2}\right) ^{2}} dx =\int \frac{1+x^{2}-x^{2}}{ \left( 1+x^{2}\right) ^{2}} dx$$

$$=\int \frac{1+x^{2}}{\left( 1+x^{2}\right) ^{2}} dx-\int \frac{x^{2}}{ \left( 1+x^{2}\right) ^{2}} dx$$

$$=\int \frac{1}{\left( 1+x^{2}\right) } dx-\int \frac{x^{2}}{\left( 1+x^{2}\right) ^{2}} dx=\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits x-I_{1}.$$

Integral označen sa $I_{1}$ računamo posebno koristeći parcijalnu integraciju,

$$\int \frac{x^{2}}{\left( 1+x^{2}\right) ^{2}} dx =\int \frac{x\cdot x}{ \left( 1+x^{2}\right) ^{2}} dx$$

$$=\left\{ \begin{array}{cc} u=x & dv=\frac{x}{\left( 1+x^{2}\rig... ...t( 1+x^{2}\right) ^{2}}=-\frac{1}{2\left( 1+x^{2}\right) } \end{array} \right\}$$

$$=-\frac{x}{2\left( 1+x^{2}\right) }+\frac{1}{2}\int \frac{ dx}{1+x^{2}}$$

$$=-\frac{x}{2\left( 1+x^{2}\right) }+\frac{1}{2}\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits x+C.$$

pa je konačno rješenje

$$\int \frac{1}{\left( 1+x^{2}\right) ^{2}} dx=\frac{1}{2}\mathop{\mathrm{arctg}}\nolimits x+\frac{x}{2\left( 1+x^{2}\right) }+C.$$

Rekurzivne formule     NEODREĐENI INTEGRAL     Integriranje trigonometrijskih funkcija