☰ matematika2

Princip superpozicije rješenja DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE Sustavi diferencijalnih jednadžbi

Metoda varijacije konstanti

Metodom varijacije konstanti odredite opća rješenja diferencijalnih jednadžbi

a): $\displaystyle y^{\prime \prime}+y=\frac{1}{\sin x}$ , te provjerite linearnu nezavisnost rješenja pripadne homogene jednadžbe,
b): $\displaystyle y^{\prime \prime}-2y^{\prime}+y=\frac{e^x}{x}$ ,
c): $\displaystyle y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}=\frac{x-1}{x^2}$ .

Rješenja.

a)

Odredimo najprije rješenje pripadne homogene diferencijalne jednadžbe $\displaystyle y^{\prime \prime}+y=0$ . Njena karakteristična jednadžba $\displaystyle \lambda ^2+1=0$ ima rješenja $\displaystyle \lambda _{1,2}=\pm i$ pa je rješenje homogene diferencijalne jednadžbe $\displaystyle y_H(x)=C_1\cos x+C_2\sin x$ . Prema

[M2, poglavlje 5.10], partikularno rješenje zadane jednadžbe ima oblik

$\displaystyle \displaystyle y_P(x)=C_1(x)\cos x+C_2(x)\sin x,$

pri čemu funkcije $\displaystyle C_1(x)$ i $\displaystyle C_2(x)$ zadovoljavaju sustav jednadžbi:

$\displaystyle C_1^{\prime}(x)\cos x+C_2^{\prime}(x)\sin x$	$\displaystyle =0$
$\displaystyle -C_1^{\prime}(x)\sin x+C_2^{\prime}(x)\cos x$	$\displaystyle = \frac{1}{\sin x}.$

Množenje prve jednadžbe s $\cos x$ i druge jednadžbe sa $\sin x$ te oduzimanje druge jednadžbe od prve daje

pa je

Množenje prve jednadžbe sa $\sin x$ i druge jednadžbe s $\cos x$ te zbrajanje jednadžbi daje $C_2'(x)=\mathop{\mathrm{ctg}}\nolimits x$ , pa je $C_2(x)=\ln \vert\sin x\vert + B$ .

U prethodnim formulama možemo uzeti i pa opće rješenje zadane diferencijalne jednadžbe glasi

$\displaystyle \displaystyle y(x)=C_1\sin x+C_2\cos x-x\cos x+\sin x\cdot \ln \vert\sin x\vert.$

Linearnu nezavisnost rješenja homogene jednadžbe, $\displaystyle y_1(x)=\cos x$ i $\displaystyle y_2(x)=\sin x$ , provjerit ćemo računanjem determinante Wronskog prema [M2, poglavlje 5.10]:

$\displaystyle W(x)=\left\vert\begin{array}{cc} \cos x & \sin x -\sin x & \cos x \end{array}\right\vert= \cos ^2x+\sin ^2x=1\neq 0.$

Zaključujemo da su rješenja homogene jednadžbe linearno nezavisna.

b)

Pripadna homogena diferencijalna jednadžba glasi $\displaystyle y^{\prime \prime}-2y^{\prime}+y=0$ . Rješenja njene karakteristične jednadžbe $\displaystyle \lambda ^2-2\lambda +1=0$ su $\displaystyle \lambda _{1,2}=1$ pa zaključujemo da je rješenje homogene jednadžbe $\displaystyle y_H(x)=C_1e^x+C_2xe^x$ . Partikularno rješenje ima oblik $\displaystyle y(x)=C_1(x)e^x+C_2(x)xe^x$ pri čemu funkcije $\displaystyle C_1(x)$ i $\displaystyle C_2(x)$ zadovoljavaju sustav jednadžbi:

$\displaystyle C_1^{\prime}(x)e^x+C_2^{\prime}(x)xe^x$	$\displaystyle =0$
$\displaystyle C_1^{\prime}(x)e^x+C_2^{\prime}(x)(e^x+xe^x)$	$\displaystyle = \frac{e^x}{x}.$

Slijedi $C_2'(x)=\frac{1}{x}$ i

pa je

i $C_2(x)=\ln \vert x\vert+B$ . Uz

, rješenje zadane jednadžbe glasi

$\displaystyle \displaystyle y(x)=C_1e^x+C_2xe^x+xe^x\ln \vert x\vert.$

c)

Kao u prethodna dva zadatka, riješit ćemo najprije pripadnu homogenu diferencijalnu jednadžbu. Karakteristična jednadžba glasi $\displaystyle \lambda ^3+\lambda ^2=0$ , a njena rješenja su $\displaystyle \lambda _{1,2}=0$ , $\displaystyle \lambda _3=-1$ . Prema [M2, poglavlje 5.10], rješenje homogene diferencijalne jednadžbe glasi

$\displaystyle \displaystyle y_H(x)=C_1+xC_2+e^{-x}C_3.$

Stoga partikularno rješenje zadane diferencijalne jednadžbe ima oblik

$\displaystyle \displaystyle y_P(x)=C_1(x)+xC_2(x)+e^{-x}C_3(x),$

pri čemu $\displaystyle C_1(x)$ ,

zadovoljavaju sustav jednadžbi:

$\displaystyle C_1^{\prime}(x)+xC_2^{\prime}(x)+C_3^{\prime}(x)e^{-x}$	$\displaystyle =0$
$\displaystyle C_2^{\prime}(x)-C_3^{\prime}(x)e^{-x}$	$\displaystyle =0$
$\displaystyle C_3^{\prime}(x)e^{-x}$	$\displaystyle = \frac{x-1}{x^2}.$

Rješavanjem sustava dobivamo

$\displaystyle C_1(x)=-\frac{1}{x}-x+A,\quad C_2(x)=\ln \vert x\vert+\frac{1}{x}+B,\quad C_3(x)=\frac{1}{x}e^x+C,$

pa, uz

, opće rješenje zadane diferencijalne jednadžbe glasi

$\displaystyle y(x)=y_H(x)+y_P(x)=C_1+C_2x+C_3 e^{-x}+x\ln \vert x\vert.$

Princip superpozicije rješenja DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE Sustavi diferencijalnih jednadžbi