kao na slici 6.1.
Ukoliko bi pravac
prolazio kroz sve zadane točke, onda
bi za svaku točku
,
vrijedilo
U našem slučaju to daje sustav linearnih jednadžbi
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
odnosno
Ne postoji pravac koji prolazi kroz zadane točke pa zadani sustav očito nije rješiv i postavlja se pitanje što možemo napraviti. Ako bi sustav bio rješiv, onda bi vrijedilo
Ako je
pa naziv problem najmanjih kvadrata slijedi iz definicije norme vektora.
Postupak za rješavanje problema najmanjih kvadrata je u ovom slučaju
jednostavan: rješenje
dobit ćemo kao rješenje sustava od dvije
jednadžbe i dvije nepoznanice6.1
Vrijedi
pa rješenje
Ovaj sustav možemo lako riješiti Gaussovom eliminacijom (vidi
Geometrijska interpretacija rješenja je sljedeća (vidi sliku 6.2):
pravac
"najbolje" prolazi točkama
,
u smislu da je suma kvadrata udaljenosti između
zadanih točaka
i točaka na pravcu
minimalna. Drugim riječima,
Rješenje prethodnog problem i slike 6.1 i 6.2
mogu se dobiti pomoću sljedećeg Matlab (Octave) programa
Octave On-line[Octave On-line Home] [Octave User's Guide] |
A'
je transponirana matrica matrice
ones(5,1)
je vektor dimenzije x=A\b
daje rješenje sustava xLS=A\b
automatski daje rješenje problema
najmanjih kvadrata. Zamijenite liniju
xLS=(A'*A)\(A'*b)
s xLS=A\b
i uvjerite se da su rješenja ista!
provucite najbolji pravac u smislu najmanjih kvadrata. Nacrtajte zadane točke i dobiveni pravac te provjerite rješenje pomoću Matlaba ili programa Octave On-line.
Izračunajte i nacrtajte regresijski pravac, predvidite neto plaću za siječanj 2018. i usporedite sa stvarnim iznosom. Za računanje možete koristiti Matlab ili program Octave On-line.