Postupak iz prethodnog poglavlja primjenjiv je i na višedimenzionalne
probleme. U ovom poglavlju pokazat ćemo da je postupak primjenjiv
uvijek kada matrica sustava
ima linearno nezavisne stupce te je u
tom slučaju rješenje problema najmanjih kvadrata jedinstveno.
Neka je zadan preodređeni sustav
od
jednadžbi s
nepoznanica, pri čemu je
. Kako za normu vektora
vrijedi
, problem najmanjih kvadrata
možemo zapisati kao
Uvedimo oznaku
Ideju za postupak rješavanja daje nam jednodimenzionalni slučaj: ako su
U višedimenzionalnom slučaju tome odgovara
pa je
odnosno
Ova jednadžba zove se normalna jednadžba. Dokažimo sada da ovaj intuitivni postupak zaista daje rješenje.
![]() |
![]() |
|
![]() |
||
![]() |
a kako se radi o matricama dimenzije
Uvrštavanje u
Izraz
Dakle, uvijek je
odnosno vrijednost
Dokažimo sada da je rješenje
jedinstveno. Ako je
onda je
Primijetimo da su vektori
i
međusobno okomiti:
Geometrijski to znači da je vektor
Rješenje problema najmanjih kvadrata
zove se još i kvadratična
prilagodba
sustavu
u smislu najmanjih kvadrata.
Kvalitetu prilagodbe mjerimo s
Iz činjenice da je
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
|
![]() |
![]() |
Normalna jednadžba glasi
pa je rješenje dano s
Kvaliteta prilagodbe je
Odgovarajući Matlab program glasi
Octave On-line[Octave On-line Home] [Octave User's Guide] |
provucimo kvadratnu parabolu
koja ima najbolju kvadratičnu prilagodbu. Dakle, moramo naći koeficijente parabole tako da je
Ovaj problem možemo zapisati kao problem najmanjih kvadrata
Rješavanje normalne jednadžbe daje
a kvaliteta prilagodbe iznosi
Parabola i slike mogu se dobiti sljedećim Matlab programom
Octave On-line[Octave On-line Home] [Octave User's Guide] |