... (vidi^1.1

Reference označene s M1 odnose se na udžbenik: I. Slapničar, Matematika 1, FESB, Split, 2001.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

....^1.2

Ako je $A=\emptyset$ , onda je $F$ striktno primitivna funkcija funkcije $f$ na intervalu $I$ .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... parametra.^1.3

Jedan oblik rekurzivne formule u kojoj smo integral izrazili pomoću istog izraza imali smo u primjeru 1.6 d).

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...^1.4

Vidi http://www.wolframalpha.com/calculators/integral-calculator/.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... supstitucije^1.5

Radi se o svođenju izraza pod korijenom na puni kvadrat - vidi primjer.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... s^2.1

Koristimo skraćene oznake $\dot x=\dot\varphi (t)$ i $\dot y=\dot \psi(t)$ .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... formulom^2.2

Koristimo skraćene oznake $r=r(\varphi )$ i $r'=r'(\varphi )$ .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... teorem^2.3

Teorem navodimo bez dokaza. Dokaz je sličan dokazu teorema 2.6 s time što funkciju $R_i(h)$ treba derivirati tri puta nakon čega treba primijeniti teorem srednje vrijednosti i dva puta integrirati.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... On-line^2.4

http://lavica.fesb.unist.hr/octave/ool_hr.php.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...fig:vv3a^3.1

Projekcije crtamo kao parametarski zadane krivulje u prostoru, odnosno crtamo krivulje $(x,y,z)=(0,u,\vert u\vert)$ , $(x,y,z)= (1,u,\sqrt{1+u^2})$ , $(x,y,z)=(-1,u,\sqrt{1+u^2})$ , $(x,y,z)=(u,0,\vert u\vert)$ , $(x,y,z)=(u,1,\sqrt{1+u^2})$ , $(x,y,z)=(u,-1,\sqrt{1+u^2})$ , $(x,y,z)=(\cos u,\sin u,1)$ , $(x,y,z)=(2 \cos u, 2 \sin u,2)$ i $(x,y,z)=(3 \cos u,3 \sin u,3)$ .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... koeficijenata^3.2

Svi koeficijenti su realni brojevi.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... kružnice.^3.3

U rubovima je nivo-krivulja ili pak presjek s ravninom koja je paralelna s $xz$ - ili $yz$ -ravninom jednaka točki koju možemo interpretirati kao degeneriranu kružnicu s polumjerom 0 .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

....^3.4

Drugim riječima, jedan od prva dva slučaja je narušen sa strogom nejednakošću.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

....^3.5

Drugim riječima, jedan od prva dva slučaja je narušen sa jednakošću s nulom.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

....^4.1

Funkcija $f$ je također omeđena na zatvorenom skupu $[a,b]\times [c,d]$ po svojstvu (ii) iz poglavlja 3.3.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... krivuljom^4.2

Krivulja je glatka, što znači da se sastoji od konačno glatkih dijelova; krivulja je jednostavna, što znači da ne presijeca samu sebe; i krivulja je zatvorena, što znači da počinje i završava u istoj točki.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...\space ^4.3

Za više informacija vidi http://www.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... područja^4.4

Integriranje ove formule po varijabli $z$ daje formulu 4.1.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... izostavljamo^4.5

Usporedi s izvodom elementa površine $dP$ u polarnim koordinatama iz poglavlja 4.2.2.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... vrijedi^4.6

Uvjerite se u ovu tvrdnju tako što ćete izračunati moment $M_{yz}$ .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...brahistohrona.^4.7

Na grčkom jeziku brahistos znači najkraći, a hronos znači vrijeme. Problem je 1696. godine postavio Johann Bernoulli, a riješio ga je iste godine Isaac Newton.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... 4.3)^4.8

Prethodni integral riješili smo koristeći nestandardnu supstituciju iz koje se odmah vidi da rješenje ima oblik cikloide. Integral se može riješiti i pomoću standardne racionalne supstitucije $x/(1-C^2x)=t^2$ (vidi poglavlje 1.7.1).

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... bisekcije^4.9

Vidi, na primjer, Java program http://lavica.fesb.unist.hr/matematika1/java/Bisekcija.html.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... godine^5.1

Podaci su preuzeti s adrese http://en.wikipedia.org/wiki/World_population.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... godine^5.2

Vidi http://www.wikipedia.org/wiki/Radium.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... ekvivalentne^5.3

Drugim riječima, ako je bilo koja tvrdnja istinita, onda su istinite i ostale.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...fig:mot.^5.4

Sustav je složeniji od sustava opisanog u primjeru 5.1.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... uvjetima^5.5

O početnim uvjetima ovise konstante $C_1$ i $C_2$ , no taj dio rješenja nestaje u beskonačnosti.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... godine^5.6

Vidi http://en.wikipedia.org/wiki/Tacoma_Narrows_Bridge.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... Londonu^5.7

Vidi http://en.wikipedia.org/wiki/London_Millennium_Bridge.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

....^5.8

Opravdanost ovog postupka dokazujemo tako da funkciju $y_P=\sum C_i y_i$ deriviramo $n$ puta koristeći pri tome jednakosti iz zadanog sustava te potom uvrstimo u jednadžbu (5.27).

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

...fig:eulrvz.^5.9

Radi preglednije slike broj zečeva je podijeljen s deset, odnosno nacrtane su funkcije $V(t)$ i $Z(t)/10$ .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... nepoznanice^6.1

Izvod ove jednadžbe dan je u sljedećem poglavlju.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

... statistiku^6.2

Vidi http://www.dzs.hr.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.