×   HOME PREDAVANJA

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA INDEKS

VJEŽBE

SADRŽAJ INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

PODSJETNIK

SADRŽAJ NEODREĐENI INTEGRAL ODREĐENI INTEGRAL FUNKCIJE VIŠE VARIJABLA VIŠESTRUKI INTEGRALI DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE METODA NAJMANJIH KVADRATA

JAVA NETPLOT OCTAVE Traži ...

☰   matematika2 QR rastav matrice     QR rastav     Rješavanje problema najmanjih kvadrata

Numeričko računanje QR rastava

Za formiranje Householderove matrice $H$ potrebno je $O(n^2)$ računskih operacija. Za množenje nekog vektora $x$ Householderovom matricom također je potrebno $O(n^2)$ računskih operacija. No, umnožak $H\mathbf{x}$ može se izračunati bez formiranja matrice $H$ :

$$H\mathbf{x}=\left(I-2\frac{\mathbf{v}\mathbf{v}^T}{\mathbf{v}^T\m... ...mathbf{x}-\mathbf{v} \frac{2(\mathbf{v}^T\mathbf{x})}{\mathbf{v}^T\mathbf{v}}.$$

Za računanje produkta $H\mathbf{x}$ pomoću prethodne jednakosti potrebno je samo $O(6n)$ računskih operacija. Slično, produkt $HA$ u praksi se računa pomoću formula:

$$\beta =-\frac{2}{\mathbf{v}^T\mathbf{v}},$$

$$\mathbf{w} = \beta A^T \mathbf{v}$$ (6.5)

$$HA = A+\mathbf{v} \mathbf{w}^T.$$

Koristeći prethodna poboljšanja možemo napisati funkcije za računanje QR rastava. Prva funkcija računa vektor $\mathbf{v}$ iz zadanog vektora $\mathbf{x}$ prema formuli (6.4) i napomeni 6.3:

   function v=House(x)
      % računa Householderov vektor v iz vektora x
      sig=sign(x(1)); if sig==0, sig=1; end
      v=x
      v(1)=v(1)+sig*norm(v)
   end

Slijedeća funkcija računa umnožak $HA$ bez formiranja matrice $H$ prema formulama (6.5):

   function B=mnoziHouse(v,A)
      % računa produkt HA=(I-2*v*v'/(v'*v))*A
      % bez formiranja matrice H
      beta=-2/(v'*v)
      w=beta*A'*v
      B=A+v*w'
   end

Konačno, sljedeća funkcija računa QR rastav matrice $A$ prema postupku opisanom u prethodnom poglavlju:

   function [Q,R]=mojQR(A)
      % QR rastav A=Q*R. A je m x n i mora biti rank(A)=n.
      [m,n]=size(A)
      Q=eye(m)
      for i=1:min(m-1,n)
         v=House(A(i:m,i))
         A(i:m,i:n)=mnoziHouse(v, A(i:m,i:n))
         Q(i:m,:)=mnoziHouse(v, Q(i:m,:))
      end
      R=A
      Q=Q'
   end

Zadatak 6.5   Izračunajte QR rastav matrice $A$ iz primjera 6.2 pomoću prethodnih funkcija i usporedite ga s rastavom koji se dobije pomoću Matlabove naredbe [Q,R]=qr(A).

Octave On-line

A = [1 1 1 4 2 1 16 4 1 25 5 1 36 6 1] % QR rastav pomocu vlastitih potprograma function v=House(x) % racuna Householderov vektor v iz vektora x sig=sign(x(1)); if sig==0, sig=1; end v=x; v(1)=v(1)+sig*norm(v); end function B=mnoziHouse(v,A) % racuna produkt HA=(I-2*v*v'/(v'*v))*A % bez formiranja matrice H beta=-2/(v'*v); w=beta*A'*v; B=A+v*w'; end function [Q,R]=mojQR(A) % QR rastav A=Q*R. A je m x n i mora biti rank(A)n. [m,n]=size(A); Q=eye(m); for i=1:min(m-1,n) v=House(A(i:m,i)); A(i:m,i:n)=mnoziHouse(v, A(i:m,i:n)); Q(i:m,:)=mnoziHouse(v, Q(i:m,:)); end R=A; Q=Q'; end % moj QR rastav [Q,R]=mojQR(A) % Matlabov QR rastav [Qm,Rm]=qr(A)

     

[Octave On-line Home]    [Octave User's Guide]

QR rastav matrice     QR rastav     Rješavanje problema najmanjih kvadrata